京都大学2017 2以外の素因数を持たないものの個数 2^0を含むのはなぜですか？

京都大学2017　第2問（1）
100桁以下の自然数で、2以外の素因数を持たないものの個数を求めよ。

という問題です。2のべき乗数の内、最大のものは　2^332 であることは、自力で求められます。
しかし、教学社の赤本などの解答解説では、2^0 を含めて、
「333個」が答えらしいのです。
「2以外の素因数を持たない自然数は、2^n （ｎ＝0, 1, 2,…）と表され（後略）」
とも記されていますが、
このｎ＝0を含む理由がわかりません。
「1は素数でない」ということとは、根本的に無関係のことですか？
そして、「2以外の素因数を持たない自然数に、2^0 も含まれる」ということは、高校数学までの範囲で出てくる学習事項ですか？　どの辺りででしょう？
教えてください。

検索してもわからなかったので、参考サイトを教えてくださるだけでもありがたいです。
A「2以外の素因数を持たない自然数の一つが、2^0 である」
ということは、
B「1は2を唯一の素因数として持つ」
と必要充分でしょうか。
A→B、かつB→A　は言えそうに思います。
しかしこう考えると、2で成り立つなら、
C「3以外の素因数を持たない自然数の一つが、3^0 である」
D「5以外の素因数を持たない自然数の一つが、5^0 である」
も言えそうな気もするのです。
そう仮定すると、
E「1は2も3も5も素因数として持つ」
ということになりますよね？
どこが論理の穴でしょうか？

今週末に京大を受験する知人がいるので、教えていただけるととても助かります。
よろしくお願いいたします。

No.3 ベストアンサー 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2018/02/23 13:58

#1です。

返信拝見しました。

「2だけを素因数として持つものの個数を求めよ」答え332個。
とするのが一番スッキリした良問なんです。

そこを敢えて捻くれた問題文にしてるので、「京大は変」なんです。

2以外の素因数=3,4,5,7,11,13,17・・・・・・　①

1は「3,4,5,7,11,13,17・・・・・・」を(素因数として）持たない。
ここは当たり前ですよね。

この「」内の文字列に①を代入する事が、論理学では許されるので、
1は「2以外の素因数」を(素因数として）持たない。

つまり
1は2以外の素因数を持たない。が導かれます。

論理学とか言語論理学の範疇の問題になります。

てな具合で、京大は変。
純粋に数学の問題にして呉れ！！

この回答へのお礼

再度ご返答ありがとうございます。

＞「2だけを素因数として持つものの個数を求めよ」答え332個。
＞とするのが一番スッキリした良問なんです。

同感ですね。
しかし（2）では「２と５以外の素因数を持たないものの個数～」と続くので、
このような国語表現でも解釈を一意に定められる技量が要求されるのでしょう。
シャープペンシルや列車の喩えが稚拙だったかも知れませんが、その喩えの場合はどう思われるかも教えていただければ助かります。

＞1は「3,4,5,7,11,13,17・・・・・・」を(素因数として）持たない。
＞ここは当たり前ですよね。

理解に至りました。

別の視点で考えてみると、
「２と５以外の素因数を持たないもの」の場合には、これが

2^p*5^q （p、qは　0以上の整数）

と表されることで納得できそうな気もしますが、

2^p*5^0 （q＝0、pは　1以上の整数）
2^0*5^q （p＝0、qは　1以上の整数）
2^p*5^q （p、qは　1以上の整数）

の３通りには何の疑問の余地もないのに、

「果たして、2^0*5^0 （つまりp＝0、q＝0）　は含んで良いのだろうか」

という同様の疑問は私の頭に残ります。


「捻くれ」ているかどうかはさておき、京大過去問の解説サイトはあまたあるにも拘わらず（あまたと言っても私が見たのは片手の指の数のほどですが）、いずれも、
「ここではこう、解釈に気を付けなければなりません」
と言及してすらいないのが気になるところです。
大学入試で２通りの解釈が生じる、と断言できる場合には、もはや「出題ミス」と言われかねない事態だと思うのですがね。

いえ、t_fumiakiさんのご意見を疑っているわけではありませんよ。むしろ私は同じ立ち位置です。ただ、受験生の皆が皆、一意に受け取れるだろうか、と素朴に疑問に思うだけなんです。
332、と答えているサイトも他にありましたけどね。2^0の存在については言及しておらず、忘れているだけにも見えました。
「忘れている」と表現するのが妥当なのか、やはり、「2を因数に持つ、ということなら2以上からだが、『2以外の素因数を持たない』というところに言葉のマジック、落とし穴があるのか」
字数制限を迎えてしまいました。落とし穴と考える方が悪い、と決め付けなくて感謝致します。

お礼日時：2018/02/24 09:35

No.6 回答者： snapora2 回答日時： 2018/02/26 11:00

出題の意図としては100以下の自然数を「１」と「２以上」に分けて考えよということだったのでは。

０．素数とは自身と１以外の約数を持たない自然数。
１．「１」は素数ではない。
２．素因数とは、ある自然数の約数のうち、素数。
３．素因数分解とは、自然数を素因数の積で表すこと。
４．「１」は（素数でないので）素因数を持たない。つまり素因数分解できない。
４’．あるいは「１」を素因数分解する場合は特別に「１」と定める。

最後については、いろいろ調べても４．と４’．の両方が出てきます。プロでないので数学界の見解は知りません。

だから以下の赤本の解説は、
「2以外の素因数を持たない自然数は、2^n （ｎ＝0, 1, 2,…）と表され（後略）」ではなく、
『2以外の素因数を持たない自然数は、1　及び　2^n （ｎ＝ 1, 2, 3,…）』と書くべきではなかったかと。

上の３．までは高校までに習いますが、４．以降は明確には習わないと思います。

******
この赤本の解説から生じた別の質問が、

＞A「2以外の素因数を持たない自然数の一つが、2^0 である」ということは、
＞B「1は2を唯一の素因数として持つ」と必要充分でしょうか。

であるわけですが、これは「否」でしょう。

「２以外の素因数を持たない自然数」という二重否定の表現は「２だけを素因数に持つ自然数」or「素因数を持たない自然数、つまり１」、この両方をカバーしているにすぎません。これは２を他の素数に換えても成立します。

という意味で、表現は異なりますが#1(#3)さんと#2(#4&#5)さんは結局同じことをおっしゃっている、と理解します。扱いの難しい「１」は初めから除外するのが文系高校生への出題としては適切だったように私も思います。

まあこの出題は単独ではなく対数に絡めてのもののようですが（誘導がある）。

この回答へのお礼

「高校のどこあたりで習うのか」という細かい疑問を拾っていただいて、すっきりしました。
ありがとうございます。

お礼日時：2018/02/26 13:30

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/02/26 01:42

確かに「『ほかの解釈の余地』はありません.」は言葉が足りてなかったですね. 正確には

正しく解釈する限り「ほかの解釈の余地」はありません.
とすべきところでした.

申し訳ありません.

この回答へのお礼

入試だから、「正しい解釈は１つのみ」というおっしゃりたい意味はよくわかります。
ありがとうございました。

お礼日時：2018/02/26 13:25

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/02/23 16:07

問題として適切かどうかについての議論の余地はありますが, この文章における「ほかの解釈の余地」はありません.

ちょっと考えてみてください. 1 は 2以外の素因数を持ちますか?

この回答へのお礼

言葉使いを改めてくださったのですね。

「2以外の素因数を持たない自然数は、2^n （ｎ＝0, 1, 2,…）と表され」
という赤本等の解説について、
B「1は2を唯一の素因数として持つ」
と解釈したのが誤りであったことはわかりました。
「2を素因数として持つ自然数は、2^n （ｎ＝0, 1, 2,…）と表され」
とは違う、
ということをおっしゃっていたのですね。


まあそれでも、根本的に、
ほかの解釈をしてしまって疑問を抱いている質問者に対して、
＞「ほかの解釈の余地」はありません.
というご回答は、
にべもない　と申しますか、
ご回答として役に立たない　と申しますか、
そのような疑問は持つ必要はない、と言われているに等しく、どのような気持ちになるかはご想像しやすいだろう、
と存じます。


F「今日出席している人たちの中で、シャープペンシル以外の筆記用具を持たない人」
と手を挙げさせて、
Xさんが手を挙げていたら、
H「Xさんは筆記用具はシャープペンシルしか持っていない」
と解釈するのも　「自然」　だと思いますが、
Tacosanさんは
I「Xさんは筆記用具を一つも持っていない」かも知れない、
そういう人はむしろ手を挙げないといけない、
という側に立っていらっしゃる、ということかな、と感じます。

＞＞「ただし～とする」という注釈くらい欲しくなります。
という私のコメントに全ては集約されると思います。
その観点から、「問題としては適切さを欠いた」とも言えるのでは。

Fの質問を、誰もが一意に解釈する、というなら閉口するしかありませんが。
＃１、３さんや私と、Tacosanさんは立ち位置が違うようなので、その時点で「別の解釈の『余地』」はともかく「不親切さ」は生じていますよね。

お礼日時：2018/02/24 10:00

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/02/22 16:56

#1 に書いてある通りだけど, 1 は「2以外の素因数」を持たないよね. 「2以外の素因数を持たないもの」を数えろと言っているのであって, 「2のみを素因数に持つ」ものを数えろと言っているわけではない.

下の A とか B とかについていえば, そもそも A が真で B が偽なのだから必要十分ではありえない.

この回答へのお礼

あ　ざーす

お礼日時：2018/02/23 13:44

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2018/02/22 16:21

これは、数学では無くて国語の解釈の問題ですね。

京都大学って、何か変。

1は素数では無いので、どの数の素因数にはなり得ない訳で、1を素因数に入れてしまうと、数論の基本定理(素因数分解の1意性）が成り立たなくなりますね。

で、本題に戻って・・・。

1は、2以外の素因数を持っていないかどうか？

2以外の素因数＝3,5,7,11,13,17･･･
1は3,5,7,11,13,17･･･の素因数も持っていない。

なんか釈然としないけど、そういう事では無いですか？

2以外の素因数を持たない ≠ 2という素因数のみを持つ

この回答へのお礼

早速のお返事ありがとうございます。
自分で飲み込めてからお礼を書き込もうと思ったのですが、考えれば考えるほど混乱してしまいました。
しかし、
「国語の解釈の問題」というのは私も薄々気付いていましたが、
そう言ってくださって、気付かされた面も大きかったです。

私自身が「素因数とは」という「定義」を目にした覚えはないので、（「素数」の定義は知っています）
この問題への理解もあやふやなのかも知れません。

100桁以下の自然数で、2以外の素因数を持たないもの
を　N　とすると
Nは　2を素因数に持つ　かも知れないけれど、
Nは　2を素因数に持たなくても良い
ということですね？

t_fumiakiさんが改めて文字に起こしてくださって、「そう解釈するしかないだろう」という気はしてきました。
私も釈然としません（笑）　愚痴らせてください。

京大に合格するしないで恨み節も残りますものね。しかも、この（1）の考え方と答えは、（2）にも影響してきます。
F「今日出席している人たちの中で、シャープペンシル以外の筆記用具を持たない人」
G「列車の中で途中停車駅としては名古屋以外には止まらないもの」
と言われて選ばれたら、
その人はシャープペンシルは持っている、
その列車は止まる
という風に私は思ってしまいますが・・・。
数学に解釈の余地が残る問題文が出されたのは、珍しい感じがします。
「ただし～とする」という注釈くらい欲しくなります。

Fだと、はーいって手を上げた人は、シャープペンシルさえ持っていなくても、質問の趣旨には反していない、
Gだと、名古屋行きたい人がその列車に飛び乗った場合、名古屋にすら止まらないでもGの質問の趣旨には反していないので、飛び乗った方が悪い
ということを考慮して問題文を読まないといけない、
ということでしょうね。

「2^0 は2以外の素因数を持たない」
頭痛くなってきました。
t_fumiakiさんには感謝しています。ありがとうございます。
一週間ほど様子見てから締め切ります。

お礼日時：2018/02/23 13:43