出産前後の痔にはご注意!

次の等式を満たす整数x,yの組を1つ求めよ。
(1)24x+19y=1
この問題の途中まで分かったんですが、カッコの下から分かりません!教えてください!

「次の等式を満たす整数x,yの組を1つ求め」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • 代入するのは分かったのですが、その後の式が分かりません!教えてください!

    「次の等式を満たす整数x,yの組を1つ求め」の補足画像1
      補足日時:2018/02/26 01:05

A 回答 (5件)

代入と展開・整理が混在してるから。

分かりにくいです。
=5 - (19-5×3)×1
から
展開して、かっこをはずして
=5 - 19 + 5×3
としてから。
=5×4 + 19×(-1)
と整理してるだけで。

代入は、でてきません。
代入の流れできてるのに、
いきなりなんの解説もなく
これでは、分かりにくい。
そりゃ。いろいろやれば、
わかるでしょうけど。

数学書のこういう不親切なところは、すごい嫌です。

わかってる自分が。
解答書くものに対して、
10倍ぐらい。
分かりやすく書く、そして、
解答用紙に書くならこの程度でよい。
の2つ示すなどしてくれたら、とは時々思うです。

代入するところと。
展開・整理するところ。
のどちらをしてるかという観点で、式をおってみてください
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ユークリッドの互助法ですね!5ー(19ー5・3)・1=5ー(ー5・3)ー19=5(1+3)+19(ー1)


=5・4+19(ー1)
の繰り返しです!
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① <スタート> 「24x+19y=1」 → → → <ゴール> 「24・( )+19・( )=1」



② 解答の前半の様にして 3つの方程式を介して(24と19) が (1) と結びつきました。
24と19 → 19と5 → 5と4 → 4と1

③ ここで <ゴール>を 「 1=24・( )+19・( )」 と見ます。
すなわち,前半で求めた3つの方程式を利用して,
「 1 を(24と19)を用いて表す」作業を行います。

④ ここでのコツは,(24,19,5,4,1)を文字の様に扱うことです。

掛けたり足したりの計算を行ってはいけません。
例えば, 5-(19-5・3)・1=5-(19-15)は,ダメです。

5と19は文字の様に,同類項の整理の変形を行います。
5-(19-5・3)・1=5+5・3-19=5・(1+3)-19=5・4-19 とします。

⑤ 実際に, (24,19,5,4,1)を文字に置き換えるのも良いでしょう。
24=A , 19=B , 5=C , 4=D , 1=E として前半での関係式を表すと,

A=B+C …①
B=3C+D …②
C=D+E …③

の様になります。ここから C,D を消去して, EをAとBで表せば良いわけです。

⑥ また,この形を見れば,代入法ではなく加減法の方が簡単にできそうです。

②-③より B=4C-E …④

①×4-④より 4A-5B=E (2行で計算終了!)

A=24 , B=19 , E=1 に戻すと
24・4+19・(-5)=1

となります。
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代入していくだけです。

「次の等式を満たす整数x,yの組を1つ求め」の回答画像2
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「ユークリッドの互助法」で検索する。



5-(19-5・3)・1の()を外すと5-19+5・3

5+5・3=5・4になるから
5-19+5・3=5・4-19=5・4+19・(-1) ①

「移項すると」の1行目で、5=24-19・1が求まってるので、①の5に代入。
5・4+19・(-1)=(24-19・1)・4+19・(-1)

()を外して
24・4-19・4+19・(-1)
=24・4+19・(-4)+19・(-1) 19の部分をまとめると
=24・4++19・(-5)

何故こんな事するかと言えば、
24x+19y=1を変形して
1=24□+19○の、□○を1個求める為で、変形過程を逆に辿ってるだけ。

勘でx,yを求めても構わない。
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>先生や親に本当のことを言うべきでしょうか?
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素因数分解を視覚的に示すと

 36 =2×2×3×3
 540=2×2×3×3×3×5

という事だから、
540を最小公倍数に持つ数値は、
 3×3×3×5
は最低でも必要という事が分かると思う。

…え!?分からない?
これ、数式がどうのと言う前に、数字の組み合わせだよ?
正直なところパズルみたいなものです。


まず確実な組み合わせ。
 36 =2×2×3×3
 X  =2×2×3×3×3×5
 540=2×2×3×3×3×5

次に確実にダメな組み合わせ。
 36 =2×2×3×3
 X  =2×2×3×3  ×5
 540=2×2×3×3×3×5
3が1つでも足りないと最小公倍数は36の15倍(540)にはならない。
この場合、36の5倍が最小公倍数になる。
 36 =2×2×3×3
 X  =2×2×3×3×3
 540=2×2×3×3×3×5
5が足りないと最小公倍数は36の3倍になる。

すなわち、3×5は必須。そしてここに3があるため3×3×3も必須になるという事。
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有っても無くても影響はない。
だから2の0乗(1)から2の2乗(4)という事で「2のa乗(a=0,1,2)」と表現している。

・・・余談・・・
説明文が悪いのは自分も認める。(どう見ても答えが分かっているから出てくる理論)
しかし、これくらいは読み取れて、むしろ「この解説おかしいだろ」と突っ込みを入れられるくらいは普通に…は無理としても…できるようになりましょう。

素因数分解を視覚的に示すと

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 540=2×2×3×3×3×5

という事だから、
540を最小公倍数に持つ数値は、
 3×3×3×5
は最低でも必要という事が分かると思う。

…え!?分からない?
これ、数式がどうのと言う前に、数字の組み合わせだよ?
正直なところパズルみたいなものです。


まず確実な組み合わせ。
 36 =2×2×3×3
 X  =2×2×3×3×3×5
 540=2×2×3×3×3×5

次に確実にダメな組み合わせ。
 36 =2×2×3×3
 X  =2×2×3×3  ×5
 ...続きを読む

Q一次不定方程式の整数解のうちの一組を求める際に、ユークリッドの互除法を利用するのはなぜか?

色々検索してみましたが、やはりさっぱり理解できなかったため、お聞きしたいです。

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う~ん、整数問題むずかしいよね。
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最大公約数はもともと1なので、この割り切れる式の前の式の余りはかならず1でなくちゃいけない。
ということは、互いに素な2数の互除法の計算ではかならず余りが1になる式が出てくるということです。
だからこの式を1=・・・と書きなおして逆算すれば、1=2数の整数倍の和として表わせるので、
整数解の1つが互除法によって求められるということです。

それと、11x+19y=1は一般の整数解としてx=7+19t、y=-4-11t(tは任意の整数)となるのです。
つまり、解は無数にあります。
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Q4x-3y=20……(1) を満たす整数x,yの組を求

4x-3y=20……(1) を満たす整数x,yの組を求める。
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x=3k+5,y=4k
と表すことができる。


といった文章中に出てくる、「4と3は互いに素より…」というところは、何を表しているんですか?

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もうちょっと行こうかな?

No.1さんので質問の答えは終わっています。

「1以外に共通の約数を持たない」つまり

「最大公約数が1の数 の組み合わせ」のことです。


こういう数にはいくつかの性質がありますが、もしかすると今後役に立ちそうなものだけ。

1つだけ。


p、q が互いに素なら、ap+bq=1 となる、(a,b)の組み合わせが存在する。


という定理があります。

 #気になったら、ユークリッドの互除法というので調べてみて?


この場合、3,4 ですから、 

3×(-5) + 4× 4 = -16 +15 =1 ですね。

この一組しかありません。 (これは一意性)


こういうところは面白いですよ。 元代数学の非常勤でした m(_ _)m

(=^. .^=) m(_ _)m (=^. .^=)

Q最大公約数と最小公倍数からa,bを求める問題

2つの自然数a,b(a>b)の最大公約数は18で最小公倍数は756である。
このようなa,bの組は何組あるか。

という問題で答えは4組と書いてあったのですが
解説を見てもよく分かりませんでした。

4組は(42,1)(21,2)(14,3)(7,6)と書いてあったのですが
明らかに違うと思うのですが・・・・

分かる方教えてください。

Aベストアンサー

>4組は(42,1)(21,2)(14,3)(7,6)と書いてあったのですが
>明らかに違うと思うのですが・・・・

解答の一部分というか途中までしか見ていないということは
ありませんか?こういう問題を解くときは

a,bの最大公約数18からそれぞれを

a=18m,b=18nとおく。m,nは互いに素かつm>n
最小公倍数=18mn=756
より
mn=42 
よって
(m,n)=(42,1),(21,2),(14,3),(7,6)

(a,b)=(756,18),(378,36),(252,48),(126,108)

この解答の
(m,n)=(42,1),(21,2),(14,3),(7,6)
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考え方がわかりません。

『12の倍数で、正の約数の個数が21個である自然数nをすべて求めよ。』

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上の②の規則から、21=(6+1)x(2+1)と書ける。

つまり、この自然数は①の規則より、n=2⁶・3²と書けるわけ。

∴n=2⁶・3²=64・9 =576

-------------- 蛇足 ----------------------------------------

約数の個数が9個だったとしたら、同じ様に9=3x3=(2+1)x(2+1)なので
n=2²・3²=36だと解る


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