どなたかこの問題の解き方を教えていただけませんか？ a1=2,an+1=4an+3 (n=1,2,3

どなたかこの問題の解き方を教えていただけませんか？

a1=2,an+1=4an+3 (n=1,2,3,‥)によって定められる数列anの一般項を求めよ。

No.5 回答者： KX 回答日時： 2018/04/09 08:13

an+1とan の区別をなくしてxとおいてx=4x+3 とおくとx=-1となるので、与式の両辺に-(-1)をたしたら、

an+1+1=3(an+1+1)となるので、
an+1=bnと置くと、
bn+1=3bn,b1=a1+1=3
よって、bnは初項3,公比3の等比数列となります。bn=an+1を解くとanがでます

No.4 回答者： takoハ 回答日時： 2018/04/08 22:08

a 1=2

a n+1=4(a n +1)ー1
∴ a n+1 +1=4(a n +1)
∴a n=4^n-1 (a 1 +1) ー1=4^n-1 (2+1) ー1=3・4^n-1 ー1

No.3 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/04/05 03:34

anの添え字nと、添え字以外の文字の区別を明確にするため添え字は角括弧に入れて、anをa[n]と書く。

a[1]=2，a[n+1]=4a[n]+3＿①，nを一つ増して
a[n+2]=4a[n+1]+3＿②
a[n+1]の階差②－①を求めると
②－①= a[n+2]－a[n+1] =4a[n+1]+3－(4a[n]+3) =4(a[n+1]－a[n])＿③
a[n]の階差をb[n]と置く：a[n+1]－a[n]=b[n]＿④
n=1の時④はb[1]=a[2]－a[1]=11－2=9＿⑤
b[n]の初項は9で、式③は⑥と書けるのでb[n]は公比4の等比数列である。
b[n+1]=4b[n]＿⑥
b[n]=9×4^(n－1)＿⑦
式④よりa[n]の階差がb[n]だから、a[n]は
a[n]=a[1]+Σ(k=2からk=n－1)b[k]
この等比級数の和を求めると
a[n]=２+(1/3)(9×4^(n－1)－9)
=２+(3×4^(n－1)－3)
=3×4^(n－1)－1＿⑧

No.2 回答者： 売られた花嫁 回答日時： 2018/04/05 01:53

違ったらごめんなさい

No.1 回答者： 売られた花嫁 回答日時： 2018/04/05 01:51

特性方程式を用いて解いていきます。

an+1+1=4(an+1)・・①
ここで、an+1=bnとすると
b1=a1+1=2+1
①より
bn+1=4bn
つまり、公比4の等比数列
b1=3であるから、
bn=3・(4)^n-1
よって、an=3・(4)^n-1-1
これはa1=2を満たす
よって、求める数列は
an=3・(4)^n-1-1