下の画像の問題の解き方と答えを教えてください。

下の画像の問題の解き方と答えを教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2018/04/06 23:14

r*sin(θ + a) ということは、これを加法定理で展開すれば

　r*sin(θ + a)
= r*[ sin(θ)*cos(a) + cos(θ)*sin(a) ]
= r*cos(a)*sin(θ) + r*sin(a)*cos(θ)

です。
与えられた式が
　A*sin(θ) + B*cos(θ)
なら、
　A = r*cos(a)
　B = r*sin(a)
ということです。
つまり
　cos(a) = A/r
　sin(a) = B/r
なので
　(A/r)^2 + (B/r)^2 = 1
→　A^2 + B^2 = r^2
→　r>0 なので r=√(A^2 + B^2)
となるように r を決めればよいわけです。

これでやりましょう。

(1) A = -1, B=1 なので
　r = √2
　cos(a) = -1/√2
　sin(a) = 1/√2
これだと -パイ≦a≦パイ では a= (3/4)パイ

よって
　-sin(θ) + cos(θ) = √2 { cos[(3/4)パイ]*sin(θ) + sin[(3/4)パイ]*cos(θ) }
= √2 sin[ θ + (3/4)パイ ]

(2) A = 1, B=√3 なので
　r = 2
　cos(a) = 1/2
　sin(a) = √3 /2
これだと -パイ≦a≦パイ では a= (1/3)パイ

よって
　sin(θ) + √3 *cos(θ) = 2* { cos[(1/3)パイ]*sin(θ) + sin[(1/3)パイ]*cos(θ) }
= 2* sin[ θ + (1/3)パイ ]

(3) A=√3, B=1 なので
　r = 2
　cos(a) = √3 /2
　sin(a) = 1/2
これだと -パイ≦a≦パイ では a= (1/6)パイ

よって
　√3 *sin(θ) + cos(θ) = 2* { cos[(1/6)パイ]*sin(θ) + sin[(1/6)パイ]*cos(θ) }
= 2* sin[ θ + (1/6)パイ ]

(4) A=√2, B= -√6 なので
　r = 2√2
　cos(a) = √2 /(2√2) = 1/2
　sin(a) = -√6 /(2√2) = -√3 /2
これだと -パイ≦a≦パイ では a= -(1/3)パイ

よって
　√2 *sin(θ) - √6 *cos(θ) = 2√2 * { cos[-(1/3)パイ]*sin(θ) + sin[-(1/3)パイ]*cos(θ) }
= 2√2 * sin[ θ - (1/3)パイ ]