物理 重力の問題の解き方を教えてください。

添付図問題の解き方を教えてください。

答えは5です。

微分をつかっても構いません。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2018/04/26 11:11

あなたの出される質問は、「おかしな状況」であることが多いのですが、今回のものもそうですね。

「半径 R の球」があって、「この球の中心から距離 R/2 離れたところに質量 m の質点がある」ということは、質点があるのは「半径 R の球」の内部なのですよね。「半径 R の球」はガスの塊のようなものなのでしょうか。

いずれにせよ、「万有引力は、その半径の内部にある質量との間に働く」ということを理解しているかどうかを問うているのでしょう。
ρ0 は面倒なので ρ と書きます。

なお、微分は使いません。積分を使います。

半径 t～t+dt の微小厚さの「球殻」の体積は、「表面積 × 厚さdt」なので
　dV = 4パイt^2 * dt
この部分の密度は「ρ(1 + t/R)」なので、質量は
　dM = 4パイρ(1 + t/R)t^2 * dt
従って、半径 r (≦ R) の「球」の質量は
　M(r) = ∫[0→r] 4パイρ(1 + t/R)t^2 * dt
　　　= 4パイρ[ (1/3)t^3 + (1/4R)t^4 ][0→r]
　　　= 4パイρ[ (1/3)r^3 + (1/4R)r^4 ]
となります。

これより、半径 r (≦ R) にある質点に働く万有引力は
　F(r) = GM(r)m/r^2
　　　= 4パイGmρ[ (1/3)r + (1/4R)r^2 ]
ということになります。

この力に逆らって dr だけ動かす仕事は
　dP = F(r)dr = 4パイGmρ[ (1/3)r + (1/4R)r^2 ]dr
なので、r=R/2 の位置エネルギーは、これを r=0 → R/2 で積分すればよく
　P(R/2) = ∫[0→R/2]F(r)dr = ∫[0→R/2]Gm*4パイρ[ (1/3)r + (1/4R)r^2 ]dr
= 4パイρGm[(1/6)r^2 + (1/12R)r^3][0→R/2]
= 4パイρGm[(1/24)R^2 + (1/96R)R^3]
= 4パイρGm[1/24 + 1/96]R^2
= 4パイρGm[5/96]R^2
= (5/24)パイρGmR^2

これは選択肢「5」です。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2018/05/06 16:26