スケールハイトを求める以下の画像の問題を教えてください。正答は1.です。

スケールハイトを求める以下の画像の問題を教えてください。正答は1.です。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2018/06/07 10:34

あなたの他の質問もそうですが、何のための問題で、出題者が何を意図しているのか全く不明です。

この問題も、単に「一般式」（高校の物理や化学、地学などで常識として知っている関係式）を当てはめるだけの問題で、ここでは「気体の状態方程式」です。
それを「知っている」ことを前提に微分方程式を立てさせた上で、それを解かせることが目的なのでしょうか？

ということであれば、この手の質問を連発されている質問者さんは「科学的常識が不足している」ということになります。
問題が解けてよかったよかったではなく、そこで使う関係式（ここでは「気体の状態方程式」）が何を意味してどのように使われるのか、ということろまでを復習すべきでしょうね。

それが目的の「一連の問題」のような気がします。

では、この問題の解説です。

気体の状態方程式は
　PV = nRT
です。（いちいちの記号の説明は省略）

1 mol の質量を m とすると、そのときの状態方程式は n=1 で
　PV = RT
従って
　V = RT/P　　　①
となります。
密度の定義より、①の関係を使って
　ρ = m/V = mP/RT
与えられた条件では「それぞれの惑星内で大気の温度は一定」なので、各々の惑星内で「m/RT」は定数で、密度ρは「圧力」の関数ということになります。

従って、与えられた微分方程式は
　dP/dz = -(mg/RT)P　　　②
これを解けば
　∫(1/P)dP = -(mg/RT)∫dz
→　ln(P) = -(mg/RT)z + C1
→　P(z) = C*e^[ -(mg/RT)z ]

従って、スケールハイトを H とすると
　1/e = P(z0 + H)/P(z0)
という定義ということになります。
これを求めれば
　1/e = e^[ -(mg/RT)H ]
つまり
　-(mg/RT)H = -1
→　H = RT/mg　　　　③
という関係が求まります。

あとは、③こに各惑星の特性値（相対値）を代入して、各惑星の「スケールハイト：H」の相対値を計算するだけ。

ここで、モル質量は分子量に比例するので
・水素 H2 ：分子量2
・二酸化炭素 CO2 ：分子量44
・地球の大気：窒素（N2)80%、酸素(O2)20%で概算して平均分子量：28.8

それにしても「惑星Ｂの大気の温度は地球の 0.7 倍」という言い方はふつうはしませんね。
上記の気体の状態方程式の「T」は「絶対温度」なので、そう言っても悪くはありませんが。

書くまでもないと思いますが、R（気体定数）は共通の定数です。

ということで
(i) 地球：
　T = T0
　m = 28.8
　g = g0
より
　He = R*T0/(28.8*g0) = (1/28.8)R*T0/g0　　←これを基準にします

(ii) 惑星Ａ：
　T = T0
　m = 44
　g = g0 * 0.5
より
　Ha = R*T0/(44*0.5*g0) = R*T0/(22*g0) = (1/22)R*T0/g0 = (28.8/22)He ≒ 1.3He

(iii) 惑星B：
　T = T0 * 0.7
　m = 2
　g = g0 * 3
より
　Hb = R*T0*0.7/(2*3*g0) = 0.7*R*T0/(6*g0) = (0.7/6)R*T0/g0 = (28.8*0.7/6)He ≒ 3.36He

よって、
　地球 < 惑星Ａ < 惑星Ｂ

選択肢では「１」です。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。P=nRTとP=ρRTから分子量を使った式にどう式変形したらいいのか分からず手が止まってしまい質問させていただきました。本回答で自力でHの導出ができるようになりました。ありがとうございます。

お礼日時：2018/06/07 12:59