数学の問題について質問です。この(2)の、p(x)を(x-1)^2で割った時の余りが定数というのは、

数学の問題について質問です。この(2)の、p(x)を(x-1)^2で割った時の余りが定数というのは、どのように利用すればいいのでしょうか。

解答によれば、商をQ(x)、定数p.qを用いて、

p(x)=(x-1)^2{(x+1)Q(x)+p}+q

と表せる、とだけ書いてありました。この意味がわかりません。
答えは(1)が-2x+1、(2)がx^2-2xです。

分かる方お願いします…

No.2 ベストアンサー 回答者： kacchann 回答日時： 2018/08/15 03:08

[解1]

Pを(x+1)(x-1)^2で割ったあまりが問われているわけだから、
まずは
P(x)=(x+1)(x-1)^2×Q(x) + R(x)…(1)
[※R(x)は2次以下]
などとおきます。

そして問題文に
「Pを(x-1)^2でわるとあまりが定数」…(a)
とか書いてあるので、
とりあえず(1)を(x-1)^2でわってみると、
P(x)/(x-1)^2 = (x+1)Q(x) + {R(x)/(x-1)^2}…(2)

(a)とはどういうことか。
(a)とは、式(2)の右辺において、
「R(x)を(x-1)^2で割ったあまりこそが「その定数」」…(b)
ということを意味していることに気づけば(※わかりにくい、という場合は下記の「別解」で)、
あとは普通に解けます。

bより、R＝p(x-1)^2 + q
となるp,qが存在する。(以下省略)
---

[別解]
((1)までは同じ)

(a)における「あまりの定数」をqとすると、(1)より
P(x)-q=(x+1)(x-1)^2×Q(x) + (R(x)-q)…(2)

(a)は「P(x)-qは(x-1)^2を因数にもつ」ということにほかならないから、
(2)の右辺の(R(x)-q)の項は(x-2)^2を因数にもつ。すなわち、
(Rが2次以下であることもふまえて、)
R(x)-q＝p(x-2)^2
とあらわせる。(以下省略)

この回答へのお礼

ありがとうございます！理解できました。自分でも使えるように頑張ります。

お礼日時：2018/08/15 22:31

No.1 回答者： springside 回答日時： 2018/08/14 21:32

そうやって置くの技巧的過ぎてよく判らないですね。

私ならこうやって解きますが（注：微分法と積の微分法を知っていることが前提です。
なので、この解き方も技巧的かも）。

「2乗以上の式を含んだ式で割る」という設定の問題では、このように微分を使うと簡単に
解けることが多いです。

(2)
P(x)を(x-1)²で割ったときの商をQ(x)と置き、cを定数とすると、
題意より、P(x)=(x-1)²Q(x)+c

P(x)を(x-1)²(x+1)で割ったときの商をR(x)と置くと、定数d,e,fを用いて、
P(x)=(x-1)²(x+1)R(x)+dx²+ex+fと置ける。

すると、
P(1)=d+e+f=-1　①
P(-1)=d-e+f=3　②

P(x)の形を踏まえると、(x-1)²Q(x)+c=(x-1)²(x+1)R(x)+dx²+ex+fであり、
Q(x)、R(x)は整式であるから微分可能であることを踏まえ、この両辺を微分すると、

2(x-1)Q(x)+(x-1)²Q'(x)=2(x-1)(x+1)R(x)+(x-1)²R(x)+(x-1)²(x+1)R'(x)+2dx+e

となり、両辺にx=1を代入すると、
0=2d+e　③

①、②、③より、d=1,e=-2,f=0なので、求める余りは、x²-2x

注：c=-1ですが、この値は使いません（使わなくても解ける）。
また、積の微分法を使うと、(fgh)'=f'gh+fg'h+fgh'です。

この回答へのお礼

ありがとうございます。数3を使う発想はなかったですね。習っているので頑張って理解します！

お礼日時：2018/08/15 22:30