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2次方程式x^2-4x+1=0の2解をα、βとし、
a[n]=(α^n+β^n)/2 (n=1,2,3,...)とおく。このとき、以下の問いに答えよ。
(1)a[n+2]をa[n+1]とa[n]を用いて表せ。
(2)n=1,2,3,...に対し、a[2n-1]は偶数、a[2n]は奇数であることを数学的帰納法により示せ。
(3)(2+√3)^n(n=1,2,3,...)の整数部分を4で割った余りを求めよ。
解ける方教えてください。お願いします。
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No.1ベストアンサー
- 回答日時:
α+β=4、αβ=1となる。
(1)
αβ=1より
(α^(n+1)+β^(n+1))(α+β)=α^(n+2)+α^n+β^n+β^(n+2)となる。
よって、4×{α^(n+1)+β^(n+1)}/2=(α^n+β^n)/2+{α^(n+2)+β^(n+2)}/2より
4a[n+1]=a[n+2]+a[n]となるので、a[n+2]=4a[n+1]-a[n]
(2)
a[1]=2、a[2]=7である。数学的帰納法で求める。
・a[2n-1]は偶数
n=1の時
a[1]=2より成立。
n=k(kは自然数)で成立すると仮定。
a[2k-1]は偶数であると仮定される。a[2(k+1)-1]=4a[2k]-a[2k-1]より、4a[2k]は偶数、a[2k-1]も偶数より、偶数から偶数を引いても偶数なので、a[2k+1]=a[2(k+1)-1]も偶数となる。
よって、n=k+1の時も成立。よって示された。
・a[2n]は奇数
n=1の時
a[2]=7より成立。
n=k(kは自然数)で成立すると仮定。
a[2k]は偶数であると仮定される。a[2(k+1)]=4a[2k+1]-a[2k]より、4a[2k+1]は偶数、a[2k]は奇数より、偶数から奇数を引いたら奇数なので、a[2(k+1)]も奇数となる。
よって、n=k+1の時も成立。よって示された。
(3)
a[n]={(2+√3)^n+(2-√3)^n}/2となる。要するに{2a[n]-(2-√3)^n}=(2+√3)^nとなる。
要するに、2a[n]-1<2a[n]-(2-√3)^n<2a[n]より、(2+√3)^n=(2a[n]-1)+α(αは0<α<1を満たす適当な実数)
よって、整数部分は2a[n]-1となります。
(2)より、nが偶数ならば2a[n]は偶数かつ4の倍数ではない。よって、2a[n]-1を4で割ると余りは1となる。
また、nが奇数ならば2a[n]は4の倍数より、2a[n]-1を4で割ると余りは3となる。
何か見覚えがある問題だが。
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