社会人&学生におすすめする色彩検定の勉強術

2次方程式x^2-4x+1=0の2解をα、βとし、
a[n]=(α^n+β^n)/2 (n=1,2,3,...)とおく。このとき、以下の問いに答えよ。
(1)a[n+2]をa[n+1]とa[n]を用いて表せ。
(2)n=1,2,3,...に対し、a[2n-1]は偶数、a[2n]は奇数であることを数学的帰納法により示せ。
(3)(2+√3)^n(n=1,2,3,...)の整数部分を4で割った余りを求めよ。

解ける方教えてください。お願いします。

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A 回答 (1件)

α+β=4、αβ=1となる。



(1)

αβ=1より

(α^(n+1)+β^(n+1))(α+β)=α^(n+2)+α^n+β^n+β^(n+2)となる。

よって、4×{α^(n+1)+β^(n+1)}/2=(α^n+β^n)/2+{α^(n+2)+β^(n+2)}/2より

4a[n+1]=a[n+2]+a[n]となるので、a[n+2]=4a[n+1]-a[n]

(2)

a[1]=2、a[2]=7である。数学的帰納法で求める。

・a[2n-1]は偶数

n=1の時

a[1]=2より成立。

n=k(kは自然数)で成立すると仮定。

a[2k-1]は偶数であると仮定される。a[2(k+1)-1]=4a[2k]-a[2k-1]より、4a[2k]は偶数、a[2k-1]も偶数より、偶数から偶数を引いても偶数なので、a[2k+1]=a[2(k+1)-1]も偶数となる。

よって、n=k+1の時も成立。よって示された。

・a[2n]は奇数

n=1の時

a[2]=7より成立。

n=k(kは自然数)で成立すると仮定。

a[2k]は偶数であると仮定される。a[2(k+1)]=4a[2k+1]-a[2k]より、4a[2k+1]は偶数、a[2k]は奇数より、偶数から奇数を引いたら奇数なので、a[2(k+1)]も奇数となる。

よって、n=k+1の時も成立。よって示された。

(3)

a[n]={(2+√3)^n+(2-√3)^n}/2となる。要するに{2a[n]-(2-√3)^n}=(2+√3)^nとなる。

要するに、2a[n]-1<2a[n]-(2-√3)^n<2a[n]より、(2+√3)^n=(2a[n]-1)+α(αは0<α<1を満たす適当な実数)

よって、整数部分は2a[n]-1となります。

(2)より、nが偶数ならば2a[n]は偶数かつ4の倍数ではない。よって、2a[n]-1を4で割ると余りは1となる。

また、nが奇数ならば2a[n]は4の倍数より、2a[n]-1を4で割ると余りは3となる。

何か見覚えがある問題だが。
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