cosn(nは自然数)の上限が1 であることの証明の仕方がわかりません！ 任意の自然数nに対し、co

cosn(nは自然数)の上限が1
であることの証明の仕方がわかりません！

任意の自然数nに対し、cosn≦1なので1はcosnの上界
というところで詰まってます。
どなたか続きを教えてください！！

No.6 回答者： syotao 回答日時： 2018/11/21 23:07

あぁすいません、こっちの方がより正確ですね：

cosxはｘ＝0で連続なのでε＞0に対しδ＞0が存在して
|ｘ|＜δのとき|cosx－cos0|＜ε
一方2πは無理数なので自然数ｐ、ｑが存在して
|ｐ－2ｑπ|＜δ　したがって上から
|cos(ｐ－2ｑπ)－cos0|＜ε
cos(ｐ－2ｑπ)＝cosｐ、cos0＝1、cosｐ－1≦0なので
1－cosｐ＜ε、ゆえに１－ε＜cosｐ　です。
ごめんなさい。

No.5 回答者： syotao 回答日時： 2018/11/21 17:27

cosｘはｘ＝2qπで連続だからε＞0にたいし、δ＞0が存在して

|x－2qπ|＜δ　ならば|cosｘ－cos2qπ|＜ε
ところが2πは無理数なので自然数ｐ、ｑが存在して
|ｐ－2ｑπ|＜δ
したがって|cosｐ－cos2qπ|＜ε
そして、cosｐ－cos2qπ＝cosｐ－1≦0なので
|cosｐ－cos2qπ|＝－(cosｐ－cos2qπ)＝cos2qπ－cosｐ
したがって
cos2qπ－cosｐ＜ε　です。

No.4 回答者： syotao 回答日時： 2018/11/21 15:32

う～んε−δ論法、そうですね。

要するに1より小さいどんな値よりもcosｎ（コスエヌ）が大きくなるような
ｎ（エヌ）が存在することが言いたいわけです。

この回答へのお礼

なんども丁寧にありがとうございます！、cos２qπ−cos pがεより小さくなるのはどうしてですか？
全然わかってなくてすみません…

お礼日時：2018/11/21 15:52

No.3 回答者： syotao 回答日時： 2018/11/21 14:44

No.1さんが指摘してるようにπ（ぱい）は無理数なので

2πも無理数、したがって
|p－2qπ|がいくらでも小さくなるような自然数ｐ、ｑが存在します。
これは無理数の連分数展開からの結論です。なので
cosｘはｘ＝2qπで連続だから
ε＞0にたいし、|p－2qπ|が十分小さくなるようにｐ、ｑを選べば
1－cosp＝cos2qπ－cosp＜ε、1－ε＜cosｐ
∴求める上限は　1　になります。

この回答へのお礼

ありがとうございます！
後半の議論は、ε−δ論法ですか？

お礼日時：2018/11/21 15:12

No.2 回答者： uyama33 回答日時： 2018/11/20 11:54

n=2πｋ+α(n)

k は整数
0＜＝α(n)＜２π
として、
α(n)　が０から2πの区間で稠密になればよい。

たしか、葉層のトポロジー　という本に証明があったような気がする。
他の多様体の本にも証明があるかも？

見つかったら後で追加します。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
ぜひ、見つかったらお願いします！

お礼日時：2018/11/20 20:34

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/11/20 01:28

π は無理数だから

で済むなら簡単なんだろうなぁ.