何故f(x)-xは(x-1)(x-α)(x-β)で割りきれるのですか？

何故f(x)-xは(x-1)(x-α)(x-β)で割りきれるのですか？

No.6 回答者： takoハ 回答日時： 2018/12/24 16:32

g(x)=f(x)ーx において、g(1)=g(α)=g(β)=0 より、因数定理から、(x-1)(x-α)(x-β)という因数を

No.5 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/12/23 12:10

例：g(x)=(x-1)(x-2)について

g(x)=0の解（の１つ）がx=1⇔g(x)はx-1を因数に持つ・・・①
（これは、考えてみれば当然ですよね。
もし、g(x)がx-1を因数に持たなければ
g(x)=0と言う方程式を解いても、x=1と言う解は出てきませんし、
g(x)の解が１なのに、g(1)=0とならなくなってしまいますから。）

①を踏まえ、h(x)=f(x)-xとした場合
本問ではh(x)=f(x)-x=0がx=1を解に持つからh(x)はx-1を因数に持つ
同様にして、h(x)=f(x)-x=0がx=αとβを解に持つからh(x)はx-αとx-βを因数に持つ
これらをまとめて、h(x)はx-1とx-αとx-βを因数に持つ、と言えます。
与えられた条件はこれだけなので、h(x)=0の因数が他にもあるのかは不明です。
そこで、仮にこの不明の因数を一括してP(x)とおくと
h(x)はp(x)とx-1とx-αとx-βを因数に持つ事になりますから
h(x)=P(x)(x-1)(x-α)(x-β)と因数分解できることになります。
P(x)(x-1)(x-α)(x-β)が(x-1)(x-α)(x-β)で割り切れることは誰の目にも明らかですから、
(f(x)-x=0がx=1,α,βを解に持つとき)
f(x)-x=P(x)(x-1)(x-α)(x-β)は(x-1)(x-α)(x-β)で割り切れると言えます。
（ちなみに、f(x)-xはx-1とx-αとx-β以外に因数を持たない場合はP(x)=1です。つまり、f(x)-x=(x-1)(x-α)(x-β)）

No.4 回答者： springside 回答日時： 2018/12/23 11:00

f(1)=1、f(α)=α、f(β)=βなのであれば、

f(x)-xという式を作ってそれにx=1を代入すると、f(1)-1=1-1=0
x=αを代入するとf(α)-α=α-α=0
x=βを代入するとf(β)-β=β-β=0
となるから、f(x)-xは、x=1,α,βを解に持つでしょ。

ということは、f(x)-xは、(x-1)(x-α)(x-β)を因数に持つ訳で、ということは、
(x-1)(x-α)(x-β)で割り切れるということ。

No.3 回答者： usa3usa 回答日時： 2018/12/23 08:10

>割りきれるのですか？

納得できないなら、割り切れないとして矛盾を導いてみればよいでしょう
例えば、f(x)-x　を　(x-1)(x-α)(x-β)　で割った余りをK(x) = ax^2+bx+cとおいてみて
K(x)＝０を導いてみたらいかが？

No.2 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2018/12/23 00:51

問題文が提示されていないので、なんとも言えないところがあるのですが、f(1)=1, f(α)=α, f(β)=βであるから、f(x)=x（一次関数）であるというのは真とは言えないと思います。

疑問に思っているのはその点でしょうか。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/12/23 00:01

f(1) = 1, f(α) = α, f(β) = β だから.