Kを有限体とする。 G_n(K)をKを成分とするn次正則正方行列の全体とする。このとき任意のK^n-

Kを有限体とする。
G_n(K)をKを成分とするn次正則正方行列の全体とする。このとき任意のK^n-{0}の元、x,yについて
Ax=yとなるG_n(K)の元Aが存在することを示してください。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2019/01/12 20:04

以下、ベクトルpの転置をp’で表すことにします。

「互いに直交する0でないベクトルたちであって、どれもxと直交する」ということを満たすn-1個のベクトルたちu(1), u(2), …, u(n-1)が取れるのは自明でしょう。そういうuを適当に決めるとします。で、第k行(k=1〜n-1)が(u(k))’であって第n列がx’、という行列をUとすると、xが0ではないのでUは正則。そして、
　　Ux =(x’x)(0,0,…,0,1)’
　同様に、「互いに直交する0でないベクトルたちであって、どれもyと直交する」ということを満たすv(1), v(2), …, v(n-1)とyを転置して行に並べて行列Vを作ると、yは0ではないので、Vも正則であり、
　　Vy = (y’y)(0,0,…,0,1)’
なので、Vの逆行列をΛとすれば、
　　(1/(y’y))Λ(0,0,…,0,1)’ = y
というわけで、
　　A = ((x’x)/(y’y))ΛU
でどうです？

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/01/13 20:01

この問題のキモは、基底の延長かなあと思いました。

そのセンの回答を書いてみます。

ベクトル空間が有限次元(n次元)であれば、
次元の定義より、基底 e1,e2,…,en が存在している。
0でないベクトルxに対し、n+1個のベクトルの並び
x,e1,e2,…,en を考え、これにシュミットの直交化を
施すと、どれか1個のベクトルが0になって、残りn個
のベクトルが正規直交基底をなす。
その基底を b1,b2,…,bn と置く。特に、b1はx方向の
単位ベクトルとなっている。

第1列がx、第k列(k=2,3,…,n)がbkであるような行列を
Xと置くと、Xは第1列がxであるような正則行列となる。
同様に、第1列がyであるような正則行列Yも構成できる。
このX,Yを用いて A=Y(X^-1)と定義すると、
Aは正則であって、y=Ax が成り立つ。