R上の関数f(x)=sin2xとおくとき、f’(x)=2cos2xであることを微分係数の定義に従って

R上の関数f(x)=sin2xとおくとき、f’(x)=2cos2xであることを微分係数の定義に従って示せ。ただし連続性が用いられている部分を明確にすること。
という問題です。連続性が用いられている部分って何のことでしょうか？
また、
{f(x+h)-f(x)}/h(h→0)
={sin2(x+h)-sin2x}/h(h→0)
=•••=2cos2x

•••部分の計算方法がわかりません、どなたか教えてください！！

No.5 回答者： stomachman 回答日時： 2019/03/09 22:04

lim{x→0} sin(x)/x = 1 の証明にsinの導関数を使うわけにはいかないな。

　　π/2 > x > 0 のとき 1 > sin(x)/x > cos(x)
をいっそ幾何学で証明するかな。（sin(x), cos(x)の定義がどうなってるのかがこの問題文だけでははっきりしない、ということを逆手に取るわけ。）

No.4 回答者： koji25 回答日時： 2019/03/03 23:16

東大の問題ですよね?

まあ

とりあえず和は積にまとめましょう
そしたらlimit x➡︎0 sinx/x=1を使えば瞬殺されるでしょう(sin-x=-sinxの逆も使う)

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/02/27 13:43

連続性を用いた部分ってのは、

lim[h→0]sin(2h)=0, lim[h→0]cos(2h)+1=2
の部分じゃないかと思うけどね。

ところで、lim[θ→0](sinθ)/θ=1 の証明を添えないで
これを証明したことになるのかな？

No.2 回答者： Dr-Field 回答日時： 2019/02/27 00:08

通常、以下の変形をして (sin2x)'＝2cos2x を導く。

{sin2(x+h)-sin2x}／h＝2・〔{sin2(x+h)-sin2x}／2h〕

ところで、{sin2(x+h)-sin2x}／2h
＝{sin(2x＋2h)－sin2x}／2h
＝{sin2x・cos2h＋sin2h・cos2x－sin2x}／2h
＝{sin2x・cos2h－sin2x＋sin2h・cos2x}／2h
＝sin2x・(cos2h－1)／2h＋sin2h・cos2x／2h
h→0の時、(cos2h－1)／2h＝0 ※ かつ sin2h／2h＝1 より
続き＝sin2x・0＋１・cos2x＝cos2x

だから、{sin2(x+h)-sin2x}／h＝2・cos2x


(cos2h－1)／2h＝0の理由：(cos2h－1)／2h＝(cos2h－1)・(cos2h＋1)／2h・(cos2h＋1)
＝{(cos2h)^2－1}／2h・(cos2h＋1)
＝(sin2h)^2／2h・(cos2h＋1)
＝(sin2h／2h)・(sin2h)／(cos2h＋1)
ここで h→0 とすると、(sin2h／2h)＝1、sin2＝0、cos2h＋1＝2より
続き＝1・0／2＝0

連続性については正直よくわからない。

この回答へのお礼

丁寧にありがとうございます！

お礼日時：2019/02/27 11:27

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/02/26 23:48

「g(x) = sin x に対して g'(x) = cos x であることを微分係数の定義に従って示せ。

ただし連続性が用いられている部分を明確にすること。」
という問題だったらできますか?

この回答へのお礼

「連続性が用いられている」っていうのがいまいちよくわからなくて、すみませんできないです。。

お礼日時：2019/02/27 11:26