写真の問題ご教授頂きたいのですが、宜しくお願い致しますm(__)m 二次曲線です。

写真の問題ご教授頂きたいのですが、宜しくお願い致しますm(__)m
二次曲線です。

No.1 回答者： gamma1311 回答日時： 2019/03/13 15:35

V=(4/3)pi*a*b^2 ... これは計算済みですか？

さらに、楕円が直線 x+y=1 に接することから、a^2+b^2=1 ...(*)
これから、a=1/√3 のときVは最大になります。
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※ (*) 接点の座標は (a^2/√(a^2+b^2), b^2/√(a^2+b^2)) であることを導いてください。
計算は時間をかけて必ずご自身で。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/03/13 15:54

まず、(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1 が x + y = 1 に接する

という条件を a, b の式にしてしまいましょう。
接点の座標を (a cosθ, b sinθ) とすると
接線の式が x(a cosθ)/a^2 + y(b sinθ)/b^2 = 1 だから、
x + y = 1 と係数比較して (cosθ)/a = 1, (sinθ)/b = 1 より
a = cosθ, b = sinθ となります。

次に、回転体の体積を求めます。積分してもよいのですが、
回転楕円体の体積 V = (4/3)πab^2 は知っていますよね。

以上から V = (4/3)π(cosθ)(sinθ)^2 と判ります。
V = (4/3)πa(1-a^2) を使ったほうが簡単かな。
dV/da = (4/3)π(1-3a^2) から増減表を書いて、
V の最大値は、a = 1/√3 のときの極大値。このとき、
a = √3/3, b = √(1-a^2) = √6/3,
V = (4/3)πab^2 = (8√3/27)π です。