lim(n→∞)(1+1/n)^n =e.....① から lim(n→∞)(1-1/n)^n =1

lim(n→∞)(1+1/n)^n =e.....① から
lim(n→∞)(1-1/n)^n =1/eを導くことは出来るのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 導ける場合はその計算過程を教えて頂けないでしょうか？
  また、テイラー展開によりe^xの近似式が導けますが、このネイピア数eのx乗の近似を求めて何になるのでしょうか？
  また、eは2.7...ですが、e^xは2.7...となるのでしょうか？なるとしたら何故ですか？

    補足日時：2019/04/09 21:02

No.4 回答者： uyama33 回答日時： 2019/04/09 23:30

lim(n→∞)(1-1/n)^n =1/e

ですが、
(1-1/n)^n
＝((n-1)/n)^n
＝((n/(n-1))^-1)^n
＝((1+(n-1))/(n-1))^n)^-1
＝( (((1+(n-1))/(n-1))^(n-1)) * ((1+(n-1))/(n-1)) )^-1
→　(e*1)^-1
＝ 1/e

ではいかがでしょうか。
ｎ　の代わりに　ｎ-1　を無限大に飛ばしています。

No.3 回答者： koji25 回答日時： 2019/04/09 22:26

t=-nと変数変換すればいけます

またe^xに関しては極限とか
微分方程式という物理でバネとかの「運動」を再現する「モデル」にもあらゆるところで「e」という数字が出てきます

No.2 ベストアンサー 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/04/09 22:02

自然対数の底であるネイピア数eは微分方程式で多く出てくる重要な数学定数の一つです。

また、テイラー展開は、（条件を満たす）関数をn次式に置き換えることができます。
数学的にはNo.1の書かれた通りオイラーの公式の証明に使えます。

n次式は加減乗除の組み合わせなので、計算機科学の分野にとって都合がいいのと、比較的低い次数でも精度の良い近似をだすことができます。

精度の高い近似式があれば、それを元にした方程式の近似解の精度も基本的には上がります。

No.1 回答者： springside 回答日時： 2019/04/09 21:19

(1-1/n)^n

={(1+(-1/n)}^n
=[ {(1+(-1/n)}^(-n) ]^(-1)
→e^(-1)=1/e　(n→∞）　（注：[]内はeに収束する）

e^xのテーラー展開は、例えば、e^(ix)=cos(x)+i sin(x)　（注：iは虚数単位）の証明に使える。

最後の行は意味不明だが、e=2.718281828…だから、e^x=(2.718281828…)^xになる。