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lim(n→∞)(1+1/n)^n =e.....① から
lim(n→∞)(1-1/n)^n =1/eを導くことは出来るのでしょうか?

質問者からの補足コメント

  • 導ける場合はその計算過程を教えて頂けないでしょうか?
    また、テイラー展開によりe^xの近似式が導けますが、このネイピア数eのx乗の近似を求めて何になるのでしょうか?
    また、eは2.7...ですが、e^xは2.7...となるのでしょうか?なるとしたら何故ですか?

      補足日時:2019/04/09 21:02
gooドクター

A 回答 (4件)

自然対数の底であるネイピア数eは微分方程式で多く出てくる重要な数学定数の一つです。



また、テイラー展開は、(条件を満たす)関数をn次式に置き換えることができます。
数学的にはNo.1の書かれた通りオイラーの公式の証明に使えます。

n次式は加減乗除の組み合わせなので、計算機科学の分野にとって都合がいいのと、比較的低い次数でも精度の良い近似をだすことができます。

精度の高い近似式があれば、それを元にした方程式の近似解の精度も基本的には上がります。
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lim(n→∞)(1-1/n)^n =1/e


ですが、
(1-1/n)^n
=((n-1)/n)^n
=((n/(n-1))^-1)^n
=((1+(n-1))/(n-1))^n)^-1
=( (((1+(n-1))/(n-1))^(n-1)) * ((1+(n-1))/(n-1)) )^-1
→ (e*1)^-1
= 1/e

ではいかがでしょうか。
n の代わりに n-1 を無限大に飛ばしています。
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t=-nと変数変換すればいけます


またe^xに関しては極限とか
微分方程式という物理でバネとかの「運動」を再現する「モデル」にもあらゆるところで「e」という数字が出てきます
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(1-1/n)^n


={(1+(-1/n)}^n
=[ {(1+(-1/n)}^(-n) ]^(-1)
→e^(-1)=1/e (n→∞) (注:[]内はeに収束する)

e^xのテーラー展開は、例えば、e^(ix)=cos(x)+i sin(x) (注:iは虚数単位)の証明に使える。

最後の行は意味不明だが、e=2.718281828…だから、e^x=(2.718281828…)^xになる。
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