cos^2θの微分を幾何学的に求めようと画像の図を作ったのですが、 -sin2θ=d cos^2θ/

cos^2θの微分を幾何学的に求めようと画像の図を作ったのですが、
-sin2θ=d cos^2θ/dθとはならず
-sinθ=d cosθ/dθとなりました。
図のどこを間違えてしまったのでしょうか？
どうか皆様の力を貸してください。
できればmajimelonさん、お力を貸してください。

質問者からの補足コメント

• 補足ですいません。
  画像の図から
  cos^2θを導きました。その後で、比を用いて1/ cos^2θにして、差分からd(1/ cos^2θ)を作り、
  d(1/ cos^2θ)/dθと式を作り1/ cos^2θの微分が出来ないでしょうか？

    補足日時：2019/05/31 09:02

• stomachmanさん、ありがとうございます。
  ちなみに、載せていただいた画像からd cos^2θ/dθ=として、- sin2θと表せますでしょうか？

    補足日時：2019/06/01 22:11

• stomachmanさん、ご親切に回答していただきありがとうございます。
  あのお時間のある時で構いませんので、どうかこちらの質問にも解答して頂けないでしょうか。
  
  こちらが、もう一つの質問です。
  https://oshiete.goo.ne.jp/qa/11147251.html
  
  また、個人的な質問なのですが、stomachmanさんは何者なのでしょうか？
  ここまで幾何学的に解決できる方はあまり見たことがありません。
  欲を言えばどのようにして幾何学的に展開していく能力を得たのか是非教えて欲しいです。

    補足日時：2019/06/02 01:58

• 度々すいません。
  stomachmanさんの描いてくださった図から比を用いてd( cos^2θ)/dθ=- sin2θとなる事を導けるでしょうか？
  導けるならば、是非過程の計算を教えてください！
  マイナスが導けるか不安ではあります。

    補足日時：2019/06/02 04:47

• 私なりにstomachmanさんに描いていただいた図を元に比を作り計算しました。
  d( cos^2θ)/dθ=と置けましたが、多分計算が違うのか -sin2θとはならず画像の①のようになりました。
  ただ、方向性として間違いがないならば計算のどこを間違えたか教えていただけないでしょうか？

  
    補足日時：2019/06/02 05:24

• どうもありがとうございます。
  送りました図は間違いがあることがわかりました。
  その後試行錯誤を重ね
  d( cos^2θ)/dθ= cos^3θ/ sinθと導けましたが、これは- sin2θにはならないため間違っていることになります。
  
  stomachmanさんから頂いた図からなんとか相似条件の図を見つけ解こうとしているのですが一向に進みません。
  どうか助けて頂けないでしょうか？

    補足日時：2019/06/03 08:36

• 度々すいません。
  どうにかして解こうと思います。
  図のC,D,Eの導き方がわかりません。
  どうやって導いたかヒントを頂けますか？
  どのように計算したなどのヒントを頂けると有難いです。

    補足日時：2019/06/03 12:50

• こちらが画像です。

  
    補足日時：2019/06/03 14:22

• 図ありがとうございます。
  その赤と青い三角形の図を重ねて、一つにしたのが最初に送っていただいた図なのですね！

    補足日時：2019/06/08 16:44

No.8 回答者： stomachman 回答日時： 2019/06/08 10:14

No.2, 6, 7 への追加。

No.2の図を描く前の段階の説明図です。これでもわからんのだとすると、中学校の幾何学を勉強しないとな。

No.7 回答者： stomachman 回答日時： 2019/06/03 19:12

No.6へのコメントについてです。

> ちなみに、なぜ角度がθの三角形とわかったのでしょうか？
> どのようにして角度θの三角形を作り出したのか

中学生レベルの話かな？　(C), (D)に出てくる三角形は、どれも直角三角形だからです。

> d cos^2θの和が( cosθ sinθ)dθ+ ( cosθ sinθ)dθになるとなぜわかったのでしょうか？

「d cos^2θの和」とは一体何と何の和なのか、意味不明です。

なお、　補足日時：2019/06/03 14:22 の図にお書きの「小さな三角形」は何の関係もなし。

No.6 回答者： stomachman 回答日時： 2019/06/03 13:19

> 図のC,D,Eの導き方がわかりません。

No.2の図の(C), (D), (E)のことでしょうか。ならば、その局所を拡大すれば下図の通り。

この回答へのお礼

どうもありがとうございます。
ちなみに、なぜ角度がθの三角形とわかったのでしょうか？
どのようにして角度θの三角形を作り出したのか方法が知りたいです。
また、画像の三角形の角度はなぜθではないのでしょうか？
また、d cos^2θの和が( cosθ sinθ)dθ+ ( cosθ sinθ)dθになるとなぜわかったのでしょうか？
どうかよろしくお願いします。

お礼日時：2019/06/03 14:22

No.5 回答者： stomachman 回答日時： 2019/06/02 12:06

> 欲を言えばどのようにして幾何学的に展開していく能力を得たのか是非教えて欲しいです。

というコメントについてです。

　幾何学の問題を解くのに、うまい補助線を見つけるなどの発見的な方法を使うのではなくて、座標に関する方程式を機械的に立てて解く、という統一的な方法を使う。これが解析幾何学です。さて、解析幾何学で使う基本的な「公式」を、解析学と幾何学の両面から確認する、というのは結構なことです。しかし、解析におけるある程度複雑な式を幾何学でまるごと再解釈しようというのは、すなわち解析学を幾何学に落としこもうということですから、話が逆になっている。それを敢えてやるのは、娯楽としてのパズルでしょう。娯楽なら、パズルを解くこと自体を楽しむのが目的なのですから、その解法を他人に質問するのは本末転倒。ちょうど「トイレに行きたいんだけど今忙しいから、君、代わりに行ってきてくれないか」と頼むようなもんです。
　なので、（基本的な「公式」を幾何学で確認するということを除いては、）なさっていることはあんまり建設的でも教育的でもないな、と思うわけです。

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2019/06/01 23:03

No.3へのコメントについてです。

　　2 sinθ cosθ = sin(2θ)
という関係は別の図で考えた方が簡単でしょう。
　この図では、頂角∠AOBが2θで斜辺の長さが2の二等辺三角形OABから出発します。ABの中点Mを通ってOAに平行な線分を描いて、それとOBとの交点をNとした。するとNはOBの中点になるというわけです。

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2019/06/01 13:25

No.2へのコメントについてです。

　(A)は半径1、角度dθの円弧の長さです。その部分に小さい三角形ができるでしょ。この三角形の内角を考えれば(B)が出ます。
　 (C)のところで再び小さい三角形がある。この内角も同じで、(C)が得られます。
(D)は明らかでしょう。この緑の太線に対して緑の破線は平行です。この破線と緑の実線の細い方とはどちらも右下のかどを通っていて、dθの角度をなしていますから(E)が得られます。
　(C)と(E)の和が、お求めの長さですね。

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2019/06/01 12:46

こう描けばどうかな？　斜辺が1で、(A)から順に見てくんです。

この回答へのお礼

画像まで添付して下さりありがとうございます。
あの各辺がどうやって導かれたか計算過程を書いて頂けないでしょうか？
どのように載せていただいた図が導けてきたのか是非理解したいです！

お礼日時：2019/06/01 13:18

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2019/05/31 09:59

内容はともかくまず一番質問者の図で間違っているのは(cosθ)^2を表す曲線が単位円の外にあること。

0<θ<Π/2において0<(cosθ)^2<cosθとなります。ですので(cosθ)^2を表す曲線は必ず単位円よりも内側となります。

横軸をx,縦軸をyとします。
x軸とθの角をなす直線の方程式は
y=tanθ*x
です。
この直線上でx座標が(cosθ)^2となる点を求めると((cosθ)^2,sinθcosθ)となります。
X=(cosθ)^2,Y=sinθcosθとしたときの(X,Y)の軌跡が求める曲線です。
X=(cosθ)^2=(1+cos2θ)/2,Y=sin2θ/2　と変形できます。(cos2θ)^2+(sin2θ)^2=1の関係から
(2X-1)^2+(2Y)^2=1
(X-1/2)^2+Y^2=(1/2)^2
求める曲線は中心(1/2,0),半径1/2の円の上半分ということになります。質問者の曲線とは全く違いますね。