画像の図のように展開して1/ cos^2θの微分(厳密に言えば tanθの二階微分を行う)、d(1/

画像の図のように展開して1/ cos^2θの微分(厳密に言えば tanθの二階微分を行う)、d(1/ cos^2θ)/dθを導こうとしたのですがうまくいきません。
式①は正しいでしょうか？
間違っている場合は何が間違っているか教えてください。

質問者からの補足コメント

• 正しい図が書けましたがd(1/ cos^2θ)が導けずにいます。
  OR=1/ cos^2θで、OR'=1/ cos^2(θ+dθ)です。

  
    補足日時：2019/06/01 22:00

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2019/05/31 13:47

図が間違っている。

cosθは0<θ<πで常に正の値をとる狭義の単調減少関数。このことから1/cosθは常に正の値をとる単調増加関数であることがわかります。
同様に(1/cosθ)^2も単調増加関数なのです。

質問者の図はθが大きくなると(1/cosθ)^2が減少しています。
お話になりません。

実際のグラフはとても面倒な形をしています。
https://ja.wolframalpha.com/input/?i=%E6%A5%B5%E …

θ=0での立ち上がりは垂直になります。
θがπ/2に近づくと縦方向には急激に大きくなり、∞に発散します。いうまでもなく横方向にも無限大に発散していきます。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/06/01 05:55

(x=1/(cosθ)^2、偏角=θ)の点は円周上を動いてゆかないので出発点から間違ってます。

メチャクチャ。
素直に普通に微分しましょう。

(d/dθ)(1/(cosθ)^2)=(-2/(cosθ)^3)(d/dθ)(cosθ)=2sinθ/(cosθ)^3

No.3 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2019/06/01 16:08

どうしても図で書きたい、ということであれば次のようにすれば1/(cosθ)^2を図示できます。

1.横軸上のr=1の点で横軸に垂直な線を引く。
2.横軸とθの角をなす直線を引き1の線との交点をAとする。OA=1/cosθとなる。
3.Aを通りOAに垂直な線を引く。この線と横軸との交点をBとするとOB=1/(cosθ)^2
となります。
後はθが少し変わった場合の線を引いてみればよいでしょう。そうして得られた点をB'とするとOB'-OB=⊿(1/(cosθ)^2)となります。

あと、元の図について式がなぜ間違っているか、を説明しておきます。

EDの式がありますが、ED=dLとするとdLとdr,dθには以下の関係が成り立ちます。
(dL)^2=(dr)^2+(rdθ)^2
この式は2次元極座標表示では必ず成り立つ式です。
質問者の式はdr=0としてしまった式になりますが、実際には1/(cosθ)^2の描く線は円とはなりませんのでdr≠0です。ですから最初の式自体が違います。

次に二つ目の式ですが、正しい図で書いたときに∠DEG≠θであることから式自体に意味がありません。

どちらにしろ、1/(cosθ)^2を示す曲線が間違っていることが根本的な原因です。

老婆心ながらもうひとつ忠告。
図で書く場合、問題となるデメリットが存在します。
今まで質問者が出してきた1/(cosθ)^2は0<θ<π/2において単調増加関数です。
それならば図で書いてもさほど混乱はしません。

しかし増減が変化するような関数に対して図で書くことをあなたがすると絶対に混乱します。
符号がめちゃくちゃになるでしょうね。
(実際にθ=π/2の場合で意味不明な質問をされていますね)