cosθの微分に関して、 θが120°などの場合、 cos(θ+dθ)- cosθ/(θ+dθ)-θ

cosθの微分に関して、
θが120°などの場合、
cos(θ+dθ)- cosθ/(θ+dθ)-θの式で良いでしょうか？
cosθ- cos(θ+dθ)/θ-(θ+dθ)としなくて良いのでしょうか。

質問者からの補足コメント

• ちなみに、120°の cosθでの傾きと、120°での cosθの微分により導かれた傾きを90°を引いて30°にして式の符号を変えて導いた傾きは同じ値となるのでしょうか？
  符号を変えたりとθを変えた際に式の符号を考慮したため同じ傾きになると思うのですが。
  ちなみに、以上のように角度を変えることにより式の符号を変える場合cos(θ+dθ)- cosθ/(θ+dθ)-θの式を
  cosθ- cos(θ+dθ)/θ-(θ+dθ)に変えるのでしょうか？

    補足日時：2019/06/09 15:07

• cosθの微分に関して、θが120°などの場合、
  cos(θ+dθ)- cosθ/(θ+dθ)-θの式で良いでしょうか？
  それともcosθ- cos(θ+dθ)/θ-(θ+dθ)となるのでしょうか？
  それともcosθ- cos(θ-dθ)/θ-(θ-dθ)となるのでしょうか？
  少し混乱しています。
  皆さんはどの様にθが120°などの90°より大きい場合に微分の定義の式を作っているのでしょうか？

    補足日時：2019/06/09 15:32

• cosθ-cos(θ+dθ)/θ-(θ+dθ)と
  はcos(θ-dθ)-cosθ/(θ-dθ)-θは同じ式でしょうか？
  同じな場合、過程の式を用いて理由を教えて下さい。

    補足日時：2019/06/09 21:47

No.9 回答者： lasatoo 回答日時： 2019/06/15 23:06

置き換えることは不可能です！

venomctunさんが補足で2つの式が同じかどうか聞いていましたが、その2つの式は異なる式です！
1つ目はh→+0に置き換えられ、2つ目はh→−0に置き換えられますが、その2つは別のものです！

しかし極限値は同じになります！

No.8 回答者： lasatoo 回答日時： 2019/06/15 21:02

「なぜdθ→−0からdθ→+0とできる」

これは
h→−0(2番目の式におけるdθ→+0)のときの極限値と、
h→+0(1番目の式におけるdθ→+0)のときの極限値
がなぜ一致するのかという質問でしょうか…？
これについてはvenomctunさんが他の質問で同じような質問をしていたのそこでで答えさせていただきました！

この回答へのお礼

おまたせしました。
例えばh→+0においては限りなく正の値の0に近い値に近づけますが、h→-0においては限りなく負の値の0に近い値になります。
例えば正の値0.000001と負の値-0.000001となるので符号が違うためh→+0はh→-0と置き換えられる理由がイマイチわからないのです。
h→+0とh→-0では違う値になるような気がしてしまいます。

お礼日時：2019/06/15 22:54

No.7 回答者： lasatoo 回答日時： 2019/06/15 20:56

ここではdθは→+0しかないとしてます！

だからこそ2つの式の極限を考えているのですよね？
そこで、例えばdθのかわりにhを使ってh→±0を考えればいいというのはわかりますか？

No.6 回答者： lasatoo 回答日時： 2019/06/12 11:55

長々と失礼しました

要約するとdθ→0において2つの式が同じになることがcosθが微分できるという意味だということです！

この回答へのお礼

ちなみに、なぜdθ→-0からdθ→+0と出来るのでしょうか？

お礼日時：2019/06/15 19:47

No.5 回答者： lasatoo 回答日時： 2019/06/12 11:53

補足に対して

他の所で同じような質問をしていたのでそこで解答させていただきました
結局言いたいのはf(x)=cosxとしたときに
f(θ+dθ)−f(θ)/dθとf(θ)−f(θ−dθ)/dθが同じかどうかという話ですよね

おそらくvenomctunさんはdθ＞0を前提として用いていて、dθ→+0のような状況を考えていますね。dθという記号を使うのであればそれで問題ないと思いますがここではわかりやすさを追求して、かわりにhという記号を使ってhは負の値も取りうるものとして議論していきましょう！

つまり、f(θ+h)−f(θ)/hとf(θ)−f(θ−h)/hの違いということになりますね。
まず2つ目はf(θ−h)−f(θ)/(−h)と同じことはわかりますか？
それが分かれば結局これは
f(θ+(−h))−f(θ)/(−h)
というもの、つまり1つ目のhを−hに置き換えたものだということになります。
dθのときは必ず正でしたが、hは別に負の値をとっても構わないので、この2つを区別する必要はもうなくなりましたね！
では−dθの時を考えなくて良いのかというと、そんなこともありません。
cosの微分ができると言うためにはvenomctunさんの指摘する2つの場合でdθ→0をして、それらが一致することを言わなければなりません。
今私はdθをhに変えて、2つの場合をまとめて考えています。少し考えればわかりますがh→+0の場合とh→−0の場合がそれぞれの場合に対応します。
そしてh→+0と、h→−0が一致することそのものこそ、cosがθにおいて微分できるということにほかなりません。

venomctunさんはこのことについてかなり悩んでいるようですね…
あくまでも個人的な意見ですが、数学は少し視野を広げて一般化してものをみると理解の手がかりが得られることが多いので、このことも参考にしていただければ幸いです

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/06/09 22:22

←No.2補足

画像が無いけど...

式はどっちでも同じだって説明したんだけど、解らなかった？

θ=30° のときの cosθ の傾きと
θ=120° のときの cosθ の傾きは、当然異なります。
それは、それこそ図を描いてひと目で判ることだと思うけどな。

No.3 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2019/06/09 21:14

そもそも三角関数の微積分が絡む場合には角度の測り方は弧度法にしないと 180°/π が絡んできます。

また、関数 f(x) の微分の定義は
f’(x)=df(x)/dx
={f(x+dx)-f(x)}/dx
=lim[Δx→±0]{f(x+Δx)-f(x)}/Δx
であって、Δx が左右どちらから 0 に近づいても同じ値に収束することが f(x) が微分可能であることの定義ですから、
du=lim[Δu→0]Δu
と簡略的に表記したものであるという d という演算子の意味をしっかりと理解してください。
Δθを右から0に近づけるか左からにするかはΔθの符号の取り方の問題だけなので、明らかな連続関数である cosθ では大きな問題ではありません。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/06/09 17:55

とりあえず、{cos(θ+dθ)- cosθ}/{(θ+dθ)-θ} と

{cosθ- cos(θ+dθ)}/{θ-(θ+dθ)} が同じ式であることに気付こうよ。
-1 で約分すれば、全く同じ式であることが判る。

微分係数の定義は lim[dx→0]{f(x+dx) - f(x)}/dx だから、
この式に忠実に計算すれば十分で、図形的考察を持ち込む理由は無い。
図形で考えて解りやすくなるのなら、それもいいのだけれど、
あなたの場合、混乱のもとにしかなっていない様子だし。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
ちなみに、30°のθのcosθの微分の式は
cosθ-cos(θ+dθ)/θ-(θ+dθ)ですが、

90°移動して、120°にした場合の微分の定義は画像の式のどちらかですが、
30°の場合と120°の場合での求まる傾きは同じでしょうか？

お礼日時：2019/06/09 20:28

No.1 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2019/06/09 15:18

微分の厳密な定義からすれば両方を計算して値が一致することを示すべきなのかもしれませんが、dθは正とも負とも言っていませんし、cos 関数がθの近傍で連続であるという暗黙の了解があるから、片方だけでも充分でしょう。