∫e^xsinx dxの積分について

∫e^xsinx dxの不底積分についてです。

この不底積分について、回答をみるとこのようになっていたのですが、なぜ上記の式は2回部分積分をする必要があるのかが理解できません。

わかる方がいらっしゃいましたら教えていただけますと嬉しいです。

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/06/23 09:04

2回部分積分すると元の積分が式の中に表れるのを利用出来るから。

「必要がある」と考えるのは変。これはたまたま2回部分積分すると
元の積分が式の中に表れる積分にしか使えないやり方で
殆どの積分では使えない。

この回答へのお礼

このやり方はsin、cos、eで構成されていないとできないやり方なのですね。なぜxの使われたものではできないんだろうと思っていたのでとてもすっきりしました。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2019/06/23 11:30

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/06/23 00:27

必要なんかないよ。

∫(e^x)(sin x)dx = ∫(e^x){ (e^ix - e^-ix)/2i }dx
= (1/2i)∫{ e^(1+i)x - e^(1-i)x }dx
= (1/2i){ (1/(1+i))e^(1+i)x - (1/(1-i))e^(1-i)x } + C
= (1/2i){ ((1-i)/2)(e^x)(e^ix) - ((1+i)/2)(e^x)(e^-ix) } + C
= (1/2i)(e^x){ (e^ix - e^-ix)/2 - i (e^ix + e^-ix)/2 } + C
= (1/2)(e^x){ (e^ix - e^-ix)/2i - (e^ix + e^-ix)/2 } + C
= (1/2)(e^x){ (sin x) - (cos x) } + C
でだって解けるんだからね。

2回部分積分すれば解けるというのは、
必要条件ではなく、十分条件だ。
∫(e^x)(sin x)dx = (e^x)(sin x) - ∫(e^x)(cos x)dx,
∫(e^x)(cos x)dx = (e^x)(cos x) - ∫(e^x)(-sin x)dx
が、∫(e^x)(sin x)dx と ∫(e^x)(cos x)dx の
連立一次方程式になっているからね。

この回答へのお礼

ほんとですね。なぜかこのやり方でしかできないという先入観にとらわれていました。
今年受験なのでこのように教えていただけてとても勉強になりました...！

回答ありがとうございました...！

お礼日時：2019/06/23 11:33

No.2 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/06/23 00:16

e^xは微分・積分しても同じ（積分定数を除く）かつ三角関数sin, cosは2回微分すると係数、符号の違いがありますがsin, cos（周期性）があるからです。

この回答へのお礼

xには周期性がないのでxとe、sin、cosとxではできないということですね。

回答ありがとうございました...！

お礼日時：2019/06/23 11:37

No.1 回答者： 物なやら 回答日時： 2019/06/22 23:03

そうしないと答えが求められないから。

それ以外なんかある？