積分問題です

∫ｘ√(３－ｘ)dxの回答お願いしますm(_ _"m)

No.1 ベストアンサー 回答者： konjii 回答日時： 2019/06/23 12:19

部分積分を使います。

∫f'(ｘ)g(x)dx=f(x)g(x)-∫f(ｘ)g'(x)dx
f'(x)=√(３－ｘ),g(x)=xでf(x)=ー2/3(√(３－ｘ))³、ｇ’(x)=1から
∫ｘ√(３－ｘ)dx＝ー2/3(√(３－ｘ))³＊ｘ＋2/3∫(√(３－ｘ))³dx
　　　　　　　＝ー2/3(√(３－ｘ))³＊ｘー４/15∫(√(３－ｘ))⁵＋Ｃ
ｘ＝０の時、Ｃ＝１２/5＊√３
∫ｘ√(３－ｘ)dx＝ー2/3(√(３－ｘ))³＊ｘー４/15∫(√(３－ｘ))⁵＋12/5＊√３
です。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/06/23 13:24

ちな、No.1 の答えは、

積分した後、式から「∫」を消しそこねている とか、
どこからともなく初期条件が登場している とか、
多少つっこみどころはあるけれど、
∫ｘ√(３-ｘ)dx = - (2/3)((√(３－ｘ))^3)ｘ - (４/15)(√(３-ｘ))^5 + (積分定数)
で正解だからね。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/06/23 13:13

√(３－ｘ)=tとおくと

x=-t²+3（x<3)
dx=-2tdt
∫ｘ√(３－ｘ)dx＝∫(-t²+3)t(-2t)dt=∫2t⁴-6t²dt=(2/5)t⁵-2t³＋ｃ
＝(2/5)(3-x)²√(3-x)-2(3-x)√(3-x)+C