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x を固定して t を動かすと、Ct が通過する図形の y 軸に平行な直線による切り口になります。
関数 g(t) = (x+t)e^t を考えると、 g’(t) = (1+x+t)e^t であることから、
-x-1 > 0 すなわち x < -1 のとき、 ←[1]
g(t) は t = -x-1 で唯一の極小値をとり、lim[t→+∞]g(t) = +∞ なので、
y の変域は y = g(t) ≧ g(-x-1) = -e/e^x.
x ≧ -1 のときは、 ←[2]
t > 0 の範囲で g’(t) > 0 すなわち g(t) は単調増加で、lim[t→+∞]g(t) = +∞ なので、
y の変域は y = g(t) > g(0) = x.
[1][2]を併せたものが、Ct が通過する範囲です。
図示は、指数関数のグラフを知っていれば、できますね?
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