f(x)＝logx/x (x>0) の極限の求め方について x→＋∞のときf(x)→＋0となるのは、

f(x)＝logx/x (x>0) の極限の求め方について

x→＋∞のときf(x)→＋0となるのは、
関数の強さが
logx<<x
であるから。というのは説明不十分でしょうか。きちんとした計算で求められるんでしょうか。できるのであればどなたかやり方を教えてください。

あと大学の入試問題において、
必要となるならば、x→＋∞においてf(x)→＋0となることを使ってもいい、と書かれてある問題もありますが、それが与えられてない問題もあります。その時は、サラッと、lim x→∞ f(x)＝0 と書いてもいいんでしょうか。ある程度計算または説明を書かなければいけないのでしょうか。(そもそもその計算方法があるのかわからないけど)

どなたか分かる方よろしくお願いしますm(_ _)m

No.1 回答者： springside 回答日時： 2019/09/08 22:45

まぁ、「関数の強さ」なんてものはどこにも定義されていないので、そういう曖昧な表現はせずに、

当然のごとく、単に「x→+∞のとき、f(x)→0であるから、…」とさらっと書いてしまっていいと思います。

証明するとすれば、例えばこういうやり方があります。

x=e^tとおく。x→+∞のとき、t→+∞は自明。
f(x)=log(e^t) / e^t
=t/e^t　①

ここで、g(t)=e^t-{1+t+(1/2)t²}=e^t-1-t-(1/2)t²とおくと、
g'(t)=e^t-1-tで、これをh(t)とおくと、h'(t)=e^t-1
すると、t>0のとき、h'(t)>0だから、h(t)は増加関数で、h(0)=0だから、t>0のときh(t)>0
つまり、g'(t)>0だから、g(t)は増加関数で、g(0)=0だから、t>0のときg(t)>0

よって、e^t>1+t+(1/2)t²であるから、① = t/e^t < t/{1+t+(1/2)t²}　②である。
0<①は自明で、t→+∞のとき、②→0であるから、はさみうちの原理により、①→0　（証明終）
（上記の1+t+(1/2)t²はe^tのテイラー展開［大学で勉強する］を基にしています）


あと、高校数学では、xが十分に大きいとき、「logx<<xの多項式<<e^x」は当然の常識と考えて、
サラッと上記のように書いてしまっていいのではないでしょうか。
（もし仮に減点されるとしてもわずかでしょうから、こんなことに時間を使うよりは、他の問題を解いた方が効率的）

No.2 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/09/08 23:45

No.1に似ていますが、このような解き方もあります。

t=logxとすると、x→+∞はt→+∞に置き換えられる。
また、t=logxよりx=e^tとなるので、

lim[x→+∞]logx/x
=lim[t→+∞]t/e^t

x>0よりt>0となるため、tが有限の場合、t/e^t>0となる。

またt>0において t<2^t となるため、
※t=1/2のとき1/2<√2, t=1のとき1<2, t=2のとき2<4とどんどん離れていく。
※ちなみにt=0のとき0<1となるため、t≧0でも t<2^t は成立する。

t/e^t < 2^t/e^t=(2/e)^t

0< t/e^t <(2/e)^t

0<(2/e)<1より

=lim[t→+∞](2/e)^t=0

はさみうちの原理により、
lim[t→+∞]t/e^t=0

tをxに戻すと、
lim[x→+∞]logx/x=0

No.3 回答者： syotao 回答日時： 2019/09/09 09:49

lim(t→∞)t/e^t＝0　の証明。

1＋(t/2)＜e^(t/2)をつかう。
これから
t＜2e^(t/2)-2
両辺e^tで割って
t/e^t＜2e^(-t/2)-2e^(-t）
右辺はt→∞のとき0に収束するしt＞0ならば0＜t/e^tなので
はさみうち原理より
t→∞のときt/e^t→0

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2019/09/09 11:07

f(x)=logx/x

t=logx
とすると
x=e^t
lim_{x→∞}logx/x
=lim_{t→∞}t/e^t

t>0の時
e^t>(t^2)/2
だから

任意のε>0に対して
K>2/ε
となるKが存在する
t>K
となる任意のtに対して
(t^2)/2<e^t
だから
|t/e^t|=t/e^t<2/t<2/K<ε
↓
|t/e^t|<ε
↓
lim_{t→∞}t/e^t=0
∴
lim_{x→∞}logx/x=0

No.5 回答者： syotao 回答日時： 2019/09/09 12:09

logx<x　よりlog√x<√x

log√x＝(1/2)logxだから
logx<2√x　両辺xで割って
logx/x <2/√x
この右辺はx→∞のとき0に収束し
x＞1ならば
0<logx/x　だからはさみうちの原理で
x→∞のときlogx/x→0
せめてこの位は証明しないと（笑）

No.6 回答者： konjii 回答日時： 2019/09/10 13:22

logx/xの増加量は（logx/x）’＝1/x²－logx/x²＝1/x²(1-logx)から

０＜logx＜１は増加
logx＝１で頂点
logx＞１で減少、
この間　logx/x＞０なのでｘ=∞の時logx/x=０
でいいんじゃないっすかー

No.7 回答者： seiji91 回答日時： 2019/09/17 07:20

ロピタルの定理って高校生は使用禁止なんだね。