数学 東北大 この問題教えてください。ちなみに(１)はド･モアブルの定理使っちゃだめですか？

数学 東北大


この問題教えてください。ちなみに(１)はド･モアブルの定理使っちゃだめですか？

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/10/06 12:10

>ちなみに(１)はド・モアブルの定理使っちゃだめですか？

ダメです。
それでは題意が成り立つことを示したことになりません。

(1)およびド・モアブルの定理は数学的帰納法で証明ができます。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/10/06 12:52

だめです。

その問題は、定理の名前を出してはいませんが、
要するにド・モアブルの定理を証明しろと言っています。
それに対してド・モアブルの定理を使って回答したら、
「これの理由を言ってください。」
「それが成り立つことは有名で、みんな知っています。」
というやり取りになるだけで、理由を言ったことになりません。

No.3 回答者： BAY19981026 回答日時： 2019/10/06 13:21

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(1)　数学的帰納法から、α^n=cos nθ+isin nθが成り立つと仮定します。
i)n=1のときα=cos θ+isin θ
ii)n=kで成り立つならば、α^(n+1)=(cos nθ+isin nθ)(cos θ+isin θ)＝(cos nθ・cos θ－sin nθ・sin θ)+i(sin nθ・cos θ+sin θ・cos nθ)=cos (n+1)θ+isin(n+1)θ
であるから、n=k+1で成り立つ。よって仮定は証明された。
β^n=cos nθ+isin nθのときも同様です。
ド・モアブルの定理の証明なので、使っちゃまずいでしょう。
(2) (1)からθ＝2π/７ならばα⁷=cos 2π+isin 2π=1
k+ℓ=7mとおくとα^ｋ=α^(7m-ℓ)=cos (7m-ℓ)・2π/７+isin (7m-ℓ)・2π/７=cos (2π-2ℓπ/７)・+isin (2π-2ℓπ/７)=cos (2ℓπ/７)－isin (2ℓπ/７)＝cosℓθ－isin ℓθ＝β^ℓ

No.4 回答者： BAY19981026 回答日時： 2019/10/06 14:35

続きです。

(3) (2)からB=α⁶+α⁵+α³なのでA+B=α+α²+α³+α⁴+α⁵+α⁶　
ここ ）でα⁷－1=(α－1)(1+α+α²+α³+α⁴+α⁵+α⁶)=0で、α≠1からA+B=－1
またAB=(α+α²+α⁴)(α⁶+α⁵+α³)=α^10+α⁹+α⁸+3･α⁷+α⁶+α⁵+α⁴
α⁷=1からAB=α³+α²+α+3+α⁶+α⁵+α⁴
ここでα+α²+α³+α⁴+α⁵+α⁶＝－1からAB=2となります。
(4)　A－B=α+α²+α⁴－(β+β²+β⁴)＝2i(sinθ+sin2θ+sin4θ)ですが
A－B={(A+B)²－4･AB}=√(1－8)＝i√７なので、
sinθ+sin2θ+sin4θ=i√７/(2i)=√７/2
ですね。
誘導に従って、設問を解いていけば答えにたどり着けると思います。