下の問題の解説をお願いします。

下の問題の解説をお願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： BAY19981026 回答日時： 2019/10/09 12:37

別解です。

ℓとy＝x²/4がxの正の部分で接するとき、接点を(t, t²/4)とすると、t>0で、ℓの傾きは、ｄ(t²/4)/dt＝t/2となり、ℓは(t, t²/4)を通るので、ℓ:y=(t/2)( x-t) + t²/4 y=(t/2)xーt²/4となります。

これを変形して、
2txー4yーt²=0とすると、
ℓと(0,-1)の距離は１なので、｜2t・0ー４・(-1) ーt² ｜ ÷√(4t²+(ー4)²)＝1
∴(4ーt² ) ² =4t² +16
∴t ^4ー12t² =0
t >0からt=2√3
∴ ℓ: y=√3x-3ですね。

No.3 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2019/10/09 07:08

x²+(y+1)²=1……①

y=x²/4……②

①の接点を(a,b)とすると、
a²+(b+1)²=1……③
①の接線ｌの方程式は、
ax+b(y+1)=1……④

②と④は接するので、②を④に代入
ax+b(x²/4+1)=1
bx²/4+ax+b-1=0
bx²+4ax+4b-4=0……⑤

②と④は接するので⑤の判別式D＝０
D/4=(2a)²－b(4b-4)
=4a²－4b²+4b
4a²－4b²+4b=0……⑥

③×４－⑥
4a²+4(b+1)²=4
4a²－4b²+4b=0

4(b+1)²+4b²－4b=4
(b+1)²+b²－b=1
2b²+b=0
2b(b+1/2)=0
b=0,－1/2
②の接点のｘ座標は正なので、グラフより、ｂ≠０
よって、b=－1/2……⑦

⑦を③に代入
a²+(1/2)²=1
a=±√3/2
グラフより、a>0
よって、a=√3/2……⑧

⑦、⑧を④に代入
接線ｌの方程式は、
(√3/2)x－(y+1)/2=1

No.2 回答者： BAY19981026 回答日時： 2019/10/09 01:32

ℓ：ax+by+c=0とします。

ℓと(0,-1)の距離は１なので、｜a×0+b×(-1)+C｜÷√(a²+b²)＝1
∴(c－b)²＝a²+b² ⇒ a²+2bc－c²＝0･･･①
ℓとy＝x²/4がxの正の部分で接するとき、接点を(t, t²/4)としたとき、t>0で、
ℓの傾き－a/b=ｄ(t²/4)/dt＝t/2となり、t＝－2a/b>0 (∴a≠0)
ℓが(t, t²/4)を通るので、a×(－2a/b)+b×(a²/b²)+c=0
両辺にbをかけて、－a²＋bc＝0 ･･･②
①＋②で3bc-ｃ²＝0から、c=0またはc＝3b
c＝0のとき、②からa=0となり不適
c=3bのとき、②からa²－3ｂ²＝0、－2a/b>0からa=－√３ b
この時、ℓ：－√３ b・ｘ+ｂ・ｙ+3b＝0 ⇒ －√３ｘ+ｙ+3＝0
⇒ ｙ＝√３ｘ-3 になりますね。
ちなみにℓとy＝x²/4がxの「負でない部分で接するとき」ならば、
ℓ：y＝0も解になります。

No.1 回答者： tekcycle 回答日時： 2019/10/08 22:59

丸投げ質問はやめよう。

ここの質問を少し探せば、毎日のように丸投げ質問しまくってる奴が見つかると思うけれど、一切学力の向上が見られないはずです。似たようなレベルのことをいつまでも質問しまくってる。
ここで丸投げ質問をしている、せざるを得ないようなことをしている、という時点で、勉強の仕方が間違っているのです。だから伸びない。
ここや数学のカテで毎年見かける光景です。
必ず、自分の解答、自分がやったこと、途中まででも良いからできる範囲でやってみたこと、それを書くこと。
そして、それに対して何が解らないのかを具体的に質問すること。
できるだけ、参考書等で自力解決させる方が良いです。その方が学力が向上します。
自力解決したノウハウが積み上がるし、また解らなくなったらまた探せば良いので。それに、参考書のその周辺のことも欠落していることがあるんで、それも見ることができます。

図は描いたでしょうか。
図も描かず(この問題では無いですが、具体的に数値をいくつか当てはめてみるなどせず)、抽象的に解り難くして解こうとするのは間違いです。
図をいくつも描いたり(具体的な数値をいくつか当てはめてみたり、具体例を挙げてみたり、失敗例を上げてみたり)しながら、様子を見つつ、解法に繋がりそうな道を探っていくのです。
丸投げ質問は、この意味でも全くダメなのです。

そもそも丸投げ質問せざるを得ないということは、その問題を解くにあたっての基礎学力が全く整備されてないから、というケースもよくあります。
そこの整備を怠り、しかし入試レベルの問題だけ解いていれば良いんだろう、なんてことをすると、いつまで経っても学力が上がらないので気をつけて下さい。
学力が上がらない第一の原因は、勉強をしないことですが、第二の原因は、勉強方法が間違っていることです。
勉強方法が間違っている中には、「自分の現状学力」レベルのことを放ったらかしにして、数段上のことばかりに手を出す、なんてことが含まれます。

話を戻して、図を描いてみると、接線ｔがどの辺りにありそうか、およそ見当が付きそうです。
「例えば」ｙ＝ｘ＋ｂ、傾きが45度の直線ですね、ｔがこの辺りの角度にはなりそうに無いことが判るでしょう。
また、円の左上１／４周の範囲の接線ｙ＝ａｘ＋ｂは、全てｂ＞０で、対して、ｙ＝(１／４)ｘ²の接線ｙ＝ａｘ＋ｂは、全てｂ＜０で、左上１／４周には接線は無さそうです。
ただし、両者ともｘ＝ｙ＝０、原点上での接線は共通しますが、原点はｘ＞０でないので該当しません。
また、ｙ＝(１／４)ｘ²の接線ｙ＝ａｘ＋ｂの傾きａは、全て正、ａ＞０になるはずなので、円の右上と左下１／４周ずつの接線に該当する物はないはずです。
とあたりをつけておいて、そうですね、もしそういう接線ｔが存在するなら、ｙ＝(１／４)ｘ²のどこかで接しているわけで、その接点を(ｖ,ｗ)とでもしますか。
すると、ｙ＝ａｘ＋ｂのａとbがｖとｗとで記述できるはずです。
ここまでで、どこができなかったのか。
ｖ,ｗ「と置いてみる」ということができたのか。
ｖ,ｗと置けば接線がｖ,ｗで記述できるということが判らなかったのか。接線をｖ,ｗで記述できないのか。
例えばこの辺りの基礎を蔑ろにして、入試レベルの問題に手を出してはいけないのです。

接線が記述できれば、その接線が円と接するという条件から、ｖ,ｗが決定できそうです。
例えば、傾きが判れば、その傾きを与える円の接点は、一意に決まるはずです。
本当は二つあるはずだけれど、上記の議論で、円の右下１／４周に限定されていますので。
原点を中心とする円に平行移動させて、その傾きを与える点を見つけ、それを元の円の場所に平行移動させてやっても良いでしょう。
円の中心と接点とを結ぶ直線は、円の接線と直交するので、接線の傾きが判っていれば、その直交する直線の傾きを掛け合わせると－１になるはずなので、直交する直線の傾きが判れば、その直線上のｘとｙとの比が判り、ｘとｙがその比になるような円上の点を求めれば良い。
そしてそれを元の円の位置に平行移動してやれば接点が求められるんで、ｖ,ｗは間違いなく求められるはず。

なんてことをつらつらと考えました。
青チャートなんかには、もっと固い解法が載っているかもしれませんが。

この回答へのお礼

質問に答えていただきありがとうございます。これから参考にしたいと思います。

お礼日時：2019/10/08 23:07