逆関数の微分公式を用いてつぎの関数を微分せよ. (1) f(x)=√x (2) f(x)=arcs

逆関数の微分公式を用いてつぎの関数を微分せよ.
(1) f(x)=√x (2) f(x)=arcsinx (3) f(x)=√3 x+1
解き方がわかりません教えてください！

No.2 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2019/11/15 17:40

(2) について...

三角関数は周期関数であるため、その逆関数は多価関数となってしまいます。これを単価関数とするためには値域を制限する必要があります。
tanθ は -π/2<θ<π/2 で連続な単調増加関数となるので、その逆関数はその定義域で一意に定められ
θ=arctan x
と表します。

sinθの逆関数も同様に多価関数となってしまいますが、定義域を制限することで単価関数とすることができます。ただ tanθと異なり、定義域の採り方によっては単調減少となる領域もあるため、これを一意に定めるため、定義域を -π/2≦θ≦π/2 に制限した sinθの逆関数を
θ=arcsin x
と表します。これは単調増加関数です。

θ=arcsin x
のとき
x=sinθ (π/2≦θ≦π/2)
dx/dθ=cosθ≧0
dθ/dx=1/cosθ
=1/√{1-sin²θ}
=1/√(1-x²)
f’(x)=1/√(1-x²)

となります。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/11/11 21:47

＞逆関数の微分公式を用いて

って、やり方が指定されていますね。
なら、言われたとおりに作業するだけです。
逆関数の微分公式は、dy/dx= 1/(dx/dy). これを使って...

(1)
y = √x の逆関数は、x = y^2.　dx/dy = (d/dy)y^2 = 2y.
dy/dx = 1/(dx/dy) = 1/(2y) = 1/(2√x).

(2)
y = arcsin x の逆関数は、x = sin y.　dx/dy = (d/dy)sin y = cos y.
cos y = ±√{ 1 - (sin y)^2 } = ±√(1 - x^2) ですが、
右辺の ± がどちらになるかは、arcsin の定義次第で変わります。
arcsin って、sin の逆関数だというだけで、一対一関数でない sin の
逆関数を作るには sin の定義域を制限して一対一にする必要があり、
その制限のしかたが流派によって微妙に違うからです。
よって、dx/dy = ±√(1 - x^2). ただし ± がどちらかは微妙。
dy/dx = 1/(dx/dy) = 1/(±√(1 - x^2)) = ±1/√(1 - x^2). ± がどちらかは以下同文。

(3)
f(x) = (√3)x+1 かな？ f(x) = √(3x+1) かな？

f(x) = (√3)x+1 の場合、
y = (√3)x+1 の逆関数は、x = (y - 1)/√3.　dx/dy = 1/√3.
dy/dx = 1/(dx/dy) = 1/(1/√3) = √3.

f(x) = √(3x+1) の場合、
y = √(3x+1) の逆関数は、x = (y^2 - 1)/3.　dx/dy = (2/3)y.
dy/dx = 1/(dx/dy) = 1/((2/3)y) = 3/(2√(3x+1)).