整域Aはその商体Kの離散付値vが存在してAがvの付値環となるとき、Aは離散付値環と言います。離散付値

整域Aはその商体Kの離散付値vが存在してAがvの付値環となるとき、Aは離散付値環と言います。離散付値環は局所環で、その極大イデアルmはv(x)>0をみたすKの元全体であることがわかりました。Aがネーター環であること
と、任意の0でないAのイデアルはmのべきであることを示します。

1.ネーター環であること

Aの0でない任意のイデアルをIとすると適当なIの元xで
v(x)=kを満たす最小の整数kが存在する。しだかってIはv(y)≧kを満たすyを全て含んでいる。それゆえAの0でないイデアルは全て
m_k={yはKの元|v(y)≧k}という形をしている。これらのイデアルは

m ⊃m_2 ⊃.....

は唯一の鎖を作る。よってAはネーター環

とあるのですが、m ⊃m_2 ⊃.....

は唯一の鎖を作るからネーター環と言えるのは何故ですか？

2. 任意の0でないAのイデアルはmのべきであること

vは全射ゆえ、mの元xでv(x)=1となるものが存在します。このときm=(x)でまたm_k=(x^k)となる。よって0でない任意のイデアルはmのべきで表される。

このときm_k=(x^k)となるのは何故ですか？

わかっている人にしか分からないような一二行の解答ではなく、しっかりとわかりやすい回答をお願いします。またこの証明が載っている本をご存知でしたらそちらを教えて頂けると幸いです。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2019/12/04 11:01

1.

環Aの
任意のイデアルの昇鎖列は有限回で停止するとき
Aをネーター環
という

環Aの
任意のイデアルの昇鎖列を

I_0⊂≠I_1⊂≠I_2⊂≠…⊂≠I_n⊂≠…

とすると

I_1は0でないイデアルだから

I_1=m_k
となる自然数k
がある

I_1=m_k⊂≠m_(k-1)⊂≠…⊂≠m_2⊂≠m_1=m
m_(k-j+1)⊂I_j
m_1⊂I_k
だから
m_1=I_k
だから
I_1=m_kを含む昇鎖列は多くともk回で停止するから

Aはネーター環である

2.
mの元xでv(x)=1となるものが存在する
xから生成される単項イデアル
(x)⊂m_1=m
に対して
[
Aの0でないイデアルは全て
m_k={yはKの元|v(y)≧k}という形をしているのだから
]
(x)=m_kとなる整数k≧1がある
1=v(x)≧k≧1
だから
k=1
だから
(x)=m_1=m

同様に
v(x^k)=k
だから
(x^k)=m_k