【至急】微分積分についてです 次の問題がわかりません。誰か教えてください。 ①1/(sinxcosx

【至急】微分積分についてです

次の問題がわかりません。誰か教えてください。

①1/(sinxcosx)^4 をxで積分
②1/(1-x^2)√1+x^2 をxで積分

①は何で置換していいのか分からず、まったく手が出せません。②は、√1+x^2=t-x と置いてみたり、√(1-x)/(1+x)=t と置いてみたりしましたが、うまくできませんでした。
数学得意なお方、誰か教えてください！

質問者からの補足コメント

• す

  
    補足日時：2020/01/18 16:23

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/01/18 21:00

じゃ、私は 2. を

まず、被積分関数の分母が 0 にならないように、
x < -1,　-1 < x < 1,　1 < x のどれかに x を制限する必要がある。
x = tanθ で置換すると、それぞれの区間は
-π/2 < θ < -π/4,　-π/4 < θ < π/4,　π/4 < θ < π/2 に対応する。

(1 - x^2)√(1 + x^2) = cos(2θ)/|cosθ|^3,
dx/dθ = 1/(cosθ)^2,
また、-π/2 < θ < π/2 の範囲では cosθ > 0 だから

∫ １/{(1-x^2)√(1+x^2)} dx = ∫ (cosθ)/{ 1 - 2(sinθ)^2 } dθ
= ∫ 1/( 1 - 2s^2 ) ds　　; s = sinθ
= ∫{ (√2/4)/(s + 1/√2) - (√2/4)/(s - 1/√2) }ds
= (√2/4) log| (s + 1/√2)/(s - 1/√2) | + C.　　; Cは定数

x = tanθ, s = sinθ より
x^2 = (s^2)/(1 - s^2) だから |s| = |x|/√(1 + x^2).
頭記の θ の範囲では、x と s の正負は一致するから
s = x/√(1 + x^2). これを上記の積分へ代入して、

∫ １/{(1-x^2)√(1+x^2)} dx = (√2/4) log| (s + 1/√2)/(s - 1/√2) | + C
= (√2/4) log| ( x√2 + √(1 + x^2) )/( x√2 - √(1 + x^2) ) | + C.

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2020/01/19 02:04

No.2 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/01/18 17:59

結構大変なので、とりあえず1.だけ回答する。

2.は別途。

∫ 1/(sinxcosx)^4 dx
=∫ 2^4/(sin2x)^4 dx
=∫ 16/(sin2x)^4 dx
=16∫ 1/((sin2x)^2)^2 dx

t=2xとすると、(1/2)dt=dx

=8∫ 1/((sint)^2)^2 dt
=8∫ (1/(sint)^2)(1/(sint)^2) dt
=8∫ (1/(sint)^2)(-1/tant)' dt
=-8(1/(sint)^2)(1/tant) + 8∫ (-2cost/(sint)^3)(1/tant) dt
=-8(1/(sint)^2)(1/tant) - 16∫ (cost)^2/(sint)^4 dt
=-8(1/(sint)^2)(1/tant) - 16∫ (1-(sint)^2)/(sint)^4 dt
=-8(1/(sint)^2)(1/tant) + 16∫ {1/(sint)^2 - 1/(sint)^4} dt
=-8(1/(sint)^2)(1/tant) + 16∫ 1/(sint)^2 dt - ∫16/(sint)^4 dt
=-8(1/(sint)^2)(1/tant) + 16∫ (-1/tant)' dt - ∫16/(sint)^4 dt
=-8(1/(sint)^2)(1/tant) - 16/tant - ∫16/(sint)^4 dt + C
=-8(1/(sint)^2)(1/tant) - 16/tant - ∫16/(sint)^4 dt + C
=-8(1/(sin2x)^2)(cos2x/sin2x) - 16cos2x/sin2x - ∫16/(sin2x)^4 dx + C'
=-8cos2x/(sin2x)^3 - 16cos2x/sin2x - ∫ 1/(sinxcosx)^4 dx + C'

2∫ 1/(sinxcosx)^4 dx=-8cos2x/(sin2x)^3 - 16cos2x/sin2x + C'
∫ 1/(sinxcosx)^4 dx=-4cos2x/(sin2x)^3 - 8cos2x/sin2x + C

C=C'/2：積分定数

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2020/01/19 02:04

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/01/18 16:12

sinxcosx=(1/2)sin2xより

∫sinxcosxdx=∫(1/2)sin2xdx
=(-1/4)cos2x +C

②は分母が(1-x^2)√(1+x^2)ということでしょうか？
違うものを積分しても骨折り損なので・・・

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2020/01/19 02:04