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【至急】微分積分についてです

次の問題がわかりません。誰か教えてください。

①1/(sinxcosx)^4 をxで積分
②1/(1-x^2)√1+x^2 をxで積分

①は何で置換していいのか分からず、まったく手が出せません。②は、√1+x^2=t-x と置いてみたり、√(1-x)/(1+x)=t と置いてみたりしましたが、うまくできませんでした。
数学得意なお方、誰か教えてください!

質問者からの補足コメント

A 回答 (3件)

じゃ、私は 2. を



まず、被積分関数の分母が 0 にならないように、
x < -1, -1 < x < 1, 1 < x のどれかに x を制限する必要がある。
x = tanθ で置換すると、それぞれの区間は
-π/2 < θ < -π/4, -π/4 < θ < π/4, π/4 < θ < π/2 に対応する。

(1 - x^2)√(1 + x^2) = cos(2θ)/|cosθ|^3,
dx/dθ = 1/(cosθ)^2,
また、-π/2 < θ < π/2 の範囲では cosθ > 0 だから

∫ 1/{(1-x^2)√(1+x^2)} dx = ∫ (cosθ)/{ 1 - 2(sinθ)^2 } dθ
= ∫ 1/( 1 - 2s^2 ) ds  ; s = sinθ
= ∫{ (√2/4)/(s + 1/√2) - (√2/4)/(s - 1/√2) }ds
= (√2/4) log| (s + 1/√2)/(s - 1/√2) | + C.  ; Cは定数

x = tanθ, s = sinθ より
x^2 = (s^2)/(1 - s^2) だから |s| = |x|/√(1 + x^2).
頭記の θ の範囲では、x と s の正負は一致するから
s = x/√(1 + x^2). これを上記の積分へ代入して、

∫ 1/{(1-x^2)√(1+x^2)} dx = (√2/4) log| (s + 1/√2)/(s - 1/√2) | + C
= (√2/4) log| ( x√2 + √(1 + x^2) )/( x√2 - √(1 + x^2) ) | + C.
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この回答へのお礼

ありがとうございます!

お礼日時:2020/01/19 02:04

結構大変なので、とりあえず1.だけ回答する。


2.は別途。

∫ 1/(sinxcosx)^4 dx
=∫ 2^4/(sin2x)^4 dx
=∫ 16/(sin2x)^4 dx
=16∫ 1/((sin2x)^2)^2 dx

t=2xとすると、(1/2)dt=dx

=8∫ 1/((sint)^2)^2 dt
=8∫ (1/(sint)^2)(1/(sint)^2) dt
=8∫ (1/(sint)^2)(-1/tant)' dt
=-8(1/(sint)^2)(1/tant) + 8∫ (-2cost/(sint)^3)(1/tant) dt
=-8(1/(sint)^2)(1/tant) - 16∫ (cost)^2/(sint)^4 dt
=-8(1/(sint)^2)(1/tant) - 16∫ (1-(sint)^2)/(sint)^4 dt
=-8(1/(sint)^2)(1/tant) + 16∫ {1/(sint)^2 - 1/(sint)^4} dt
=-8(1/(sint)^2)(1/tant) + 16∫ 1/(sint)^2 dt - ∫16/(sint)^4 dt
=-8(1/(sint)^2)(1/tant) + 16∫ (-1/tant)' dt - ∫16/(sint)^4 dt
=-8(1/(sint)^2)(1/tant) - 16/tant - ∫16/(sint)^4 dt + C
=-8(1/(sint)^2)(1/tant) - 16/tant - ∫16/(sint)^4 dt + C
=-8(1/(sin2x)^2)(cos2x/sin2x) - 16cos2x/sin2x - ∫16/(sin2x)^4 dx + C'
=-8cos2x/(sin2x)^3 - 16cos2x/sin2x - ∫ 1/(sinxcosx)^4 dx + C'

2∫ 1/(sinxcosx)^4 dx=-8cos2x/(sin2x)^3 - 16cos2x/sin2x + C'
∫ 1/(sinxcosx)^4 dx=-4cos2x/(sin2x)^3 - 8cos2x/sin2x + C

C=C'/2:積分定数
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この回答へのお礼

ありがとうございます!

お礼日時:2020/01/19 02:04

sinxcosx=(1/2)sin2xより


∫sinxcosxdx=∫(1/2)sin2xdx
=(-1/4)cos2x +C

②は分母が(1-x^2)√(1+x^2)ということでしょうか?
違うものを積分しても骨折り損なので・・・
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この回答へのお礼

ありがとうございます!

お礼日時:2020/01/19 02:04

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