数学2Bの白チャートのp432の71の問題です。 aを実数の定数とする。実数xを適当に選ぶと、 x、

数学2Bの白チャートのp432の71の問題です。
aを実数の定数とする。実数xを適当に選ぶと、
x、ax-1、x^2はこの順に等差数列になるという。このためには、aはどのような範囲になければならないか。
4a^2-4a-7≧0から
a≦1-2√2/2、1+2√2/2≦aには
どうやってなるんですか？

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/02/08 16:42

もう少し補足

b=4a^2-4a-7…① とおいて　縦軸をｂ、横軸をaとしてグラフを書くと
①はy=4x^2-4x-7と文字こそ違うが、全く同型の2次関数のグラフとなる
4a^2-4a-7≧0…②について①で置き換えれば
b≧０　だから
②はグラフ上で　bの座標が0以上の部分　つまりグラフがa軸より上に来るような範囲という意味です
そこで、グラフとa軸の交点を求めます

0=4a^2-4a-7として解の公式から
a={2±√(4+28)/4}
={2±4√2/4}
=(1/2)±√2
なので　交点の座標(a,b)は左から順に　P((1/2)-√2,0)とQ((1/2)＋√2,0)です
したがって、グラフでa軸より上となるのはPより左の部分と、Qより右の部分ですから
a≦(1/2)-√2,(1/2)+√2≦a
が求まります

これを機械的に計算だけで求めたのが#1です
解の公式で4a^2-4a-7≧0左辺を因数分解して
例えば(x-1)(x-2)≧０では（機械的に）　x≦小さいほうの解、大きいほうの解≦ｘより
x≦1,2≦ｘ　と求められるのと同じ要領で
4a^2-4a-7=4[x-{(1/2)＋√2}][x-{(1/2)－√2}]≧０
⇔[x-{(1/2)＋√2}][x-{(1/2)－√2}]≧０　の解を求めたのです

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/02/08 16:07

4a^2-4a-7=0とおいて左辺を因数分解してaを求める

ただぴんと来ない場合は解の公式で求める
a={2±√(4+28)/4}
={2±4√2/4}
=(1/2)±√2
2次方程式はその解をα、βを用いて
A(x-α)(x-β）と因数分解できるので
α＝(1/2)＋√2、β＝(1/2)-√2 、A=4として因数分解すると
4a^2-4a-7=4[x-{(1/2)＋√2}][x-{(1/2)－√2}]≧０となる
⇔[x-{(1/2)＋√2}][x-{(1/2)－√2}]≧０　⇔(a-α)(x-β)≧０
(a-α)(x-β)≧０の解は
x≦β,α≦x (ただしβ<αの場合）だから
a≦1-2√2/2、1+2√2/2≦a　が得られます