電磁気の問題です。解説と解答をお願いします。

z軸上の原点に関して対称な2点＋lz^、－lz^にそれぞれ点電荷＋Q、－Qがあるとき以下の問いに答えなさい。
(1)電界E(ρ,z)の表示を結果のみ書きなさい。
(2)z=∞ を基準点としたときの点＋2lz^における電位Vをz軸上(ρ=0)の積分により求めなさい。
z^はベクトルです。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2020/02/21 10:00

＞電界E(ρ,z)の表示

「ρ」は z 軸からの「距離」ということですか？

＞対称な2点＋lz^、－lz^
＞z^はベクトルです。

「z^は『単位』ベクトル」「l （小文字のエル？）」は「正の実数」で、その「z 軸上の座標を表すための係数」ですか？


電荷のある座標と、一般の z 座標の区別がつかないので、点電荷の座標を (0, -L), (0, L) （ただし L>0）とすれば

(1) 任意の座標 P(r, z) （ただし P(r, z) ≠ (0, -L), (0, L) ）に置いた試験電荷 q に働く静電力（クーロン力）を「クーロンの法則」を使って求める。
　→F = q(→E)
から電界 →E が求まる。

(2) そのクーロン力にさからって、電荷を「無限遠」から「その位置」まで持ってくるときに要する仕事が「電位」ですから、(1) で求めた電界の大きさを「無限遠からその位置まで」積分すればよいです。


電磁気学のテキストの、最初の数ページに書いてある「最も基本」の話ですね。
多少の「応用」が必要なのは、電荷との「距離」を条件に沿ったものにして、２つの電荷からの力を「合成」するところだけです。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2020/02/21 18:08

No.1 です。

やってみましょうか？

(1) 任意の座標 P(r, z) （ただし P(r, z) ≠ (0, -L), (0, L) ）に置いた試験電荷 q に働く静電力（クーロン力）は、クーロン定数を k として
　F(r, z) = kQq/[ r^2 + (z - L)^2] - kQq/[ r^2 + (z + L)^2]
　　　　= kQq[1/(r^2 + z^2 - 2Lz + L^2) - 1/(r^2 + z^2 + 2Lz + L^2)]
　　　　= kQq[(r^2 + z^2 + 2Lz + L^2) - (r^2 + z^2 - 2Lz + L^2)]/[(r^2 + z^2+ L^2)^2 - (2Lz)^2]
　　　　= 4kQqLz/(r^4 + z^4+ L^4 + 2r^2･z^2 - 2L^2･z^2 + 2L^2･r^2)
　　　　
従って
　E(r, z) = 4kQLz/(r^4 + z^4+ L^4 + 2r^2･z^2 - 2L^2･z^2 + 2L^2･r^2)　　　①

(2) ①式で r=0 とすれば
　E(0, z) = 4kQLz/(z^4+ L^4 - 2L^2･z^2) = 4kQLz/(z^2 - L^2)^2
なので
　V(0, 2L) = -∫[∞→2L]Edz = -∫[∞→2L]{4kQLz/(z^2 - L^2)^2}dz
ここで
　z^2 - L^2 = x
とおけば
　2zdz = dx
　z:∞→2L のとき x:∞→3L^2
なので
　V(0, 2L) = -∫[∞→3L^2]{2kQL/x^2}dx = 2kQL[ 1/x ][∞→3L^2] = (2/3)kQ/L