運動方程式の解き方について 微分の変換？書き方？がわかりません。 画像の解答にある、「積分して」の後

運動方程式の解き方について
微分の変換？書き方？がわかりません。
画像の解答にある、「積分して」の後の式が理解できなくて自分は手書きの部分のように考えました。
vで積分するのに、v0は初期条件だから計算するときはmはm0にしないといけないと思い、mdvの[v0→v]区間での積分はmv-m0v0になるという、気を付けないと忘れてしまうというか、積分の解き方とは外れている風になってしまいました。
どう変換すれば(書けば)うまく解けますか？

質問者からの補足コメント

• みなさんの回答を見て考えを改めました。
  もう少しわからないところがあるのでお願いします。

  
    補足日時：2020/04/11 15:25

• 画像は高校の教科書のものですが、画像のdxを消すときに他の問題集でも置換積分を使うって書いてるんですが、これはどういう意味ですか？
  これの定積分バージョンだと積分区間はdxを消した瞬間に変わるということですか？
  あと、mvがrの関数だということはわかるのですが、rという文字が実際にない(意味はわかるんですが)のでrで積分する実感がわきません。我慢して解くものですか？

  
    補足日時：2020/04/12 16:08

• 何度もすみません。
  できるようになりたいので…

  
    補足日時：2020/04/12 21:47

No.10 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/04/13 06:19

＞上の①と②のような手順は踏めないのか？

それは、No.9 に書きました。
＞たとえば、補足の例では ∫{ (1/y)(dy/dx) }dx = ∫{ 1/y }dy としていますが、
＞だからといって x = y ではありませんよね。
は解ったのかな？

実際やってみると...
∫[r0,r]{ d(mv)/dr }dr で mv = x と置くと、d(mv) = dx,
積分区間の対応は
ｔ　0　　　t
r　r0　　　r
x　m0v0　mv
となるので、置換積分は
∫[r0,r]{ d(mv)/dr }dr = ∫[r0,r]{ 1・dx/dr }dr = ∫[m0v0,mv]{ 1 }dx = mv - m0v0.

この x を置く作業が回りくどいと感じるなら、
x を mv で代用して、最初の質問の写真のような書き方になります。

この回答へのお礼

x=yではないところは解りました！
なるほど、そう置換するといいのですね。
知りたいこと全部知れました！
ありがとうございました。

お礼日時：2020/04/13 15:27

No.9 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/04/12 19:33

＞勝手に積分区間を変えても良いのですか？

勝手に変えてはいけません。
積分変数を置き換えたときに、それに応じて積分区間が決まります。
質問の問題で言えば、
「r0 から r まで r で積分」を「mv で積分」に置き換えたときに
「m0v0 から mv まで mv で積分」に決まったのです。
r = r0 が mv = m0v0 であるときに対応しているからです。
ここの手順は、学校の教科書にもあるとおりです。

＞自分はその置換のときに積分区間も変えたのだと考えます。

が正しい。
mv での積分範囲を好き勝手に設定することはできません。



＞ということは、r=mvと置換するしかないのかと思ってそう書きました。

r = mv で置換したわけではありません。
∫[m0v0,mv]{ 1 }d(mv) という書き方が、ラフ過ぎて誤解のもとなのかもしれない。
何か適当な変数を積分変数に設定して、例えば x = mv のように置換したのです。
∫[r0,r]{ d(mv)/dr }dr = ∫[m0v0,mv]{ 1 }dx です。
新しい変数 x を導入する手間を省いて、どうせ値は mv なのだからと
d(mv) で代用してしまったために、解りにくくなりましたかね？

いづれにしろ、置換積分をして dr による積分を d(mv) による積分に変換しただけで、
r と mv の間には r = mv なんて関係はありません。
たとえば、補足の例では ∫{ (1/y)(dy/dx) }dx = ∫{ 1/y }dy としていますが、
だからといって x = y ではありませんよね。

No.8 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/04/12 18:57

＞d(mv)/dr)dr=d(mv)

＞となりmvで積分することになるのなら積分区間は[r0,r]のままではいけないのではないですか？
＞そのときの積分区間は[m0v0,mv]となると自分は考えています。

なるほど、∫[r0,r]{ d(mv)/dr }dr = ∫[m0v0,mv]{ 1 }d(mv) = mv - m0v0　と考えたのですね。
それはそれでもいいです。

＞ということは、r=mvと置換するしかないのかと思ってそう書きました。

そうではありません。その場合の r = mv や r = m0v0 は、積分した後にそれを代入しただけで、
積分するときに r = mv の関係式で扱ったわけではないからです。
∫{ 1 }d(mv) = mv + (積分定数) と計算するとき、どこにも r = mv は現れないでしょう？

この回答へのお礼

でも、積分区間を変えるやり方は置換積分法でしか習っていないので(やっていることの意味はわかるのですが)置換しないとだめだと思うんです。勝手に積分区間を変えても良いのですか？
ついでですが、補足に挙げた、「置換積分法の公式を適用」の意味も教えてほしいです。自分はその置換のときに積分区間も変えたのだと考えます。では補足の問題ではなにをどう置換しているのでしょうか？

お礼日時：2020/04/12 19:06

No.7 回答者： yhr2 回答日時： 2020/04/12 16:32

４月12日付の「補足」について。

＞画像のdxを消すときに他の問題集でも置換積分を使うって書いてるんですが、これはどういう意味ですか？

例に出されたものでは、「y は x の関数」であって、何も置換などしていませんよ？
与えられた方程式
　dy/dx = ky
→　(1/y)(dy/dx) = k　（y≠0 のとき）
にして、両辺を x で積分しているだけです。

＞これの定積分バージョンだと積分区間はdxを消した瞬間に変わるということですか？

「何で積分するのか」で積分範囲は変わります。
y = f(x) で x=a～b なら「y の変域は f(a)～f(b)」ということです。
つまり「y を x について x=a～b で積分する」なら「x （= f^(-1)(y) = g(y)） を y について y=f(a)～f(b) で積分する」のと等価です。

＞あと、mvがrの関数だということはわかるのですが、rという文字が実際にない(意味はわかるんですが)のでrで積分する実感がわきません。我慢して解くものですか？

意味が分かりません。
例に挙げた
　dy/dx = ky
の「y」に x という文字が含まれていますか？

mv = f(r) と書いて、意味が通じませんか？

この回答へのお礼

何度もすみません。

では「置換積分法の公式を適用」と書いてありますが置換せずに置換積分法の公式は使えますか？
mv=f(r)はわかりますが、f(r)の中身がちゃんとわからなく抽象的に思えてしまうのです。
例のdy/dx=kyはxをyに置換しているから積分区間をxの積分区間をyの積分区間に移しているのではないのですか？

お礼日時：2020/04/12 18:02

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/04/11 19:28

失礼、ミスプリ。

F(y) = ∫f(y)dy と置くと
dF(y)/dx = (dF(y)/dy)(dy/dx) = f(y)(dy/dx) となるので、
両辺を x で積分すれば ∫f(y)dy = F(y) = ∫{ f(y)(dy/dx) }dx.

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/04/11 19:25

＞ r = mv と置くと、

そうは置けません。
r, m, v はどれも t の関数で、どんな関数であるかは
問題文の状況設定の中に埋め込まれています。
それを微分方程式を解いて求めようという問題です。
勝手に r = mv が成り立つなんて仮定することはできない。

そんなことをしなくても、両辺を r で積分すれば
mv - m0v0 = (gπ/3α)(r^4 - r0^4) は出ます。
No.2 に書いたように、やってることは
∫[r0,r]{ d(mv)/dr }dr = mv - m0v0　と
(gπ/3α)∫[r0,r]{ 4r^3 }dr = (gπ/3α)(r^4 - r0^4)
だけだから、置換積分は特に必要なさそうです。


＞ dx は約分で消えているのか？

あたかも約分で消えているように見えるところが
ライプニッツ式の微積分記号の素晴らしさですが、
②で実際使っているのは、合成関数の微分法則です。
F(y) = ∫f(y)dy と置くと
dF(y)/dx = (dF(y)/dy)(dy/dx) = f(y)(dy/dx) となるので、
両辺を x で積分すれば ∫f(y)dy = f(y)(dy/dx).
これが、置換積分の公式の由来です。

＞積分区間はこの書き方であっているか？

書き方以前に、区間そのものが間違っています。
r = mv ではないんですから。

この回答へのお礼

(d(mv)/dr)dr=d(mv)
となりmvで積分することになるのなら積分区間は[r0,r]のままではいけないのではないですか？
そのときの積分区間は[m0v0,mv]となると自分は考えています。
ということは、r=mvと置換するしかないのかと思ってそう書きました。違和感は感じていましたけど…
何度もすみません。でも教えてくださると嬉しいです。

お礼日時：2020/04/12 18:09

No.4 回答者： konjii 回答日時： 2020/04/11 15:59

ｒ＝ｍｖと置けない。

Ｒ(r)＝ｍｖと置いても
∫[r₀～ｒ]dR(r)/dr*dr=∫[r₀～ｒ]dR=R(r)-R(r₀)＝ｍｖ－ｍ₀ｖ₀となる。

②式は∫ｄ(logy)/dx*dx　=∫1/y*ｄy/dx*dx=∫1/y*ｄyを表していて、置換積分
ではなく、ｒ＝ｍｖと置くことと関係ない。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2020/04/11 13:34

＞「積分して」の後の式が理解できなくて自分は手書きの部分のように考えました。

＞vで積分するのに、

v で積分するという発想が全く理解できません。
運動方程式は「働く力」と「運動量の時間変化」の関係を表すものなので、鉛直下方向を正として
　d(mv)/dt = mg
と表されます。
ここで、m も v の「t の関数」であり、m は上にあるように r の関数で、(1) のように r と時間 t の関係が分かっているので、変数を t → r に置き換えて積分しているのです。
そこから「運動量 mv = p」を１つの変量として扱って r での積分を行なっています。

つまり、そこでやってることは
　dp/dr = mg/α
これは変数分離できるので、
→　∫dp = ∫(mg/α)dr
ここで、m を r の関数として表わして
→　∫dp = (g/α)∫mdr = (g/α)∫[(4/3)パイr^3]dr
→　p = (g/α)(1/3)パイr^4 + C
積分定数：C は、r=r0 のとき m=m0, v=v0 なので、p0 = m0*v0 として
　C = p0 - (g/α)(1/3)パイ(r0)^4
であり
　p = (g/α)(1/3)パイ(r - r0)^4 + p0
となります。

求める速度は
　v = p/m
で求まります。


質問者さんは、ｍ を定数と勘違いしていませんか？　上のように「m は r の関数」で「r は t の関数」ですから、「m も t の関数」であり、
　d(mv)/dr = mg/α
から
　m(dv/dr) = mg/α
→　mdv = (mg/α)dr
のような変数分離はできませんよ？　もしこれができるぐらいなら、共通の「定数 m」は消えているはずだし。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/04/11 13:28

写真の解答例は、v ではなく r で積分していますよ。

鉛筆書きの前の式から...
左辺の積分 = ∫[r0,r]{ d(mv)/dr }dr = mv - m0v0　…[1]

冒頭で m = (4π/3)r^3 を示しているので、これを使って　…[2]
右辺 = mg/α = (g/α)(4π/3)r^3　これを積分して、
右辺の積分 = ∫[r0,r]{ (g/α)(4π/3)r^3 }dr = (gπ/3α)(r^4 - r0^4)　…[3]

[1][3]を合わせて、 mv = (gπ/3α)(r^4 - r0^4) + m0v0
これに再び[2]を使うと、
(4π/3)(r^3)v = (gπ/3α)(r^4 - r0^4) + (4π/3)(r0^3)v0

整理すれば、
v = (g/4α)(r - r0^4/r^3) + (r0^3/r^3)v0
　= (g/4α)r + (r0^3/r^3)(- gr0/4α + v0).

No.1 回答者： konjii 回答日時： 2020/04/11 06:45

>mdvの[v0→v]区間での積分は

ではなくて、ｄ(mv)の[v0→v]区間での積分はmv-m₀ｖ₀です。そうすると
∫[r₀→ｒ]ｄ(mv)＝ｍｖ－m₀ｖ₀＝∫[r₀→ｒ](mg)/α＊dr=∫[r₀→ｒ]g/α*mdr =∫[r₀→ｒ]g/α*4Πr³/3＊dr
∵ｍ＝4Πr³/3、水の比重１
ｍｖ－m₀ｖ₀＝∫[r₀→ｒ]g/α*4Πr³/3＊dr ＝gΠ(r²-r₀²)/3α
ｍｖ＝gΠ(r²-r₀²)/3α＋m₀ｖ₀
4Πr³/3＊ｖ＝gΠ(r²-r₀²)/3α＋4Πr₀³/3＊ｖ₀