x^2+x+1=0の解の1つをwとする。 w^3=1を示せ。 という問題なのですが、仮に示せたとしま

x^2+x+1=0の解の1つをwとする。

w^3=1を示せ。

という問題なのですが、仮に示せたとします。

w^3=1を3分の1乗するとw=1となるじゃないですか？

でもこれって、最初の式のかいにはならないじゃないですか？

恐らく何かの条件で3分の1乗をできないんだろうと予想してますが、どーしてこーゆうことが起きるのか教えてください

No.8 回答者： rnakamra 回答日時： 2020/04/13 16:03

指数を複素数まで拡張すれば両辺を1/3乗することで正しい答えが得られます。

e^(iθ)=cosθ+i*sinθ
(eはネイピア数)
であることを認めると

1=e^(2nπi) n:整数
と表せることがわかります。(上にある式を使い、どんな整数nに対しても1になることを確認してください)

この1/3乗は
{e^(2nπi)}^(1/3)=e^(2nπi/3)
となります。

元のe^(2nπi)はnがどんな整数でも1になりますが、e^(2nπi/3)はnの値次第で3通りの値をとります。
n:3k e^(2nπi/3)=1
n:3k+1 e^(2nπi/3)=e^(2π/3)=-1/2+√3/2
n:3k+2 e^(2nπi/3)=e^(4π/3)=-1/2-√3/2

このうちの下二つが質問にあるx^2+x+1=0の解wにあたります。

指数を複素数まで拡張するとこんな面白いことが起こります。

No.7 回答者： syotao 回答日時： 2020/04/11 21:47

だからあなたの計算は

ｗがもし正の実数ならば分数の指数法則が成り立つから
ｗは1になるよ
ということを示しただけの話です。

No.6 回答者： syotao 回答日時： 2020/04/11 16:01

分数の指数法則が成り立つのは底が正の実数のときだけです。

今問題にしているｗは実数でないので指数法則はなりたたない。

No.5 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/04/11 14:09

端的に、場合分けがなされていないからダメです

Wが2次方程式の解ということは一旦棚上げにして
Wが実数(特にWが正の実数)なら
w^3=1を3分の1乗するとw=1　は問題ありません。
教科書、参考書の指数法則の解説欄に「実数：a>0について　(a^r)^s=a^rsが成り立つと」書かれていますよね

しかしながら、wが虚数のときのことは書かれていません
したがって、w^3=1を3分の1乗するとw=1というのは、短絡的にやってはいけないということです

これは　x²=4　→(x²)¹/²=√x²=x＝２　と短絡的にやってはいけないのに似ているかもしれません。
正しくは場合分けして　x>0の場合　√x²=xだから　元の2次方程式を両辺1/2乗してx=2
x<0の場合、√x=-xだから　もとの2次方程式を両辺2乗すると-x=2 ⇔ x=-2
合わせて x=±２となりますが
w³=1のケースでも場合分けです

①wが実数の場合、質問者さんが普段普通に使っている指数法則を用いて
両辺1/3条で　w=1です
②wが虚数の場合、普通に使っている指数法則では対応できるとは書かれていないので
[1]w=a+biとおいて
(a+bi)³=1
左辺を展開して整理、実数部分と虚数部分の比較をしてa,bを決定するのもありですが少々面倒です
[2]数3履修なら　複素数平面を用いて
１を極形式で表すと　大きさは１、偏角0だから
3乗して1になる虚数は 大きさ１で　偏角120°または240度
ゆえに
w1=1{cos(2π/3)+isin(2π/3)}=(-1/2)+(√3/2)i
w2=1{cos(4π/3)+isin(4π/3)}=(-1/2)-(√3/2)i
ここで2次方程式を思い出して、x^2+x+1=0の解の1つをwとするならこれは虚数解だから、wが虚数に限定されるので
w=W1,W2(W=1実数は不適）
と求めるとだいぶ楽です

しかしながら、場合分けのわずらわしさを思うと初めから1/3乗なんていう企てはしないで
w³=1⇔w³-1=0
⇔(w-1)(w²+w+1)=0
という通常の方程式の解き方をしたほうが良いでしょうね。

No.4 回答者： springside 回答日時： 2020/04/11 11:45

まず、「w^3=1を3分の1乗するとw=1となるじゃないですか」っていうことが間違えています。

1を3分の1乗する、つまり、1の3乗根をとると、それは、1、(-1±√3i)/2の3つある、ということになります。

これは、2分の1乗、つまり√を取る以外の全ての「整数分の1乗」がそうです。

例えば、1の4分の1乗は±1、±iの4つあり、1の5分の1乗は、1、(-1+√5±i√(10+2√5))/4、(-1-√5±i√(10-2√5))/4
の5つあります。

この辺のことは、大学で解析学を勉強すると判ります（高校でも、複素数のところで入口だけは勉強するけど）。

No.3 回答者： konjii 回答日時： 2020/04/11 11:30

ｗ^2+w+1=0, w^2+w=-1・・①

w^3+w^2+w=0
①を代入すると
ｗ^3-1=0
w^3=1

W=a+bi として、ｗを複素数として扱わなければなりません。
W^3=a(a^2-3b^2)+(3a^2b-b^3)i=1
a(a^2-3b^2)=1, (3a^2b-b^3)=b(3a^2-b^2)=0から3a^2=b^2
a(a^2-3b^2)=-８a^3=1　から　a=-1/2、 b=±√３/2
w=-1/2±√３i/2

No.2 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2020/04/11 11:03

3乗して1になる数は1ダケじゃ無いという事です。

(-1±√3i)/2も3乗したら1になる。

逆に言うと、w³=1を3分の1乗すると、1と(-1±√3i)/2の3個あるよ、という事。

No.1 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/04/11 10:27

x³=1

x³-1=0
(x-1)(x²+x+1)=0
x-1=0 , x²+x+1=0
x=1 , (-1±√3i)/2

x²+x+1=0 の解の1つをωとすると、ωは x³=1 の解なので、ω³=1 です。

x=1 は x³=1 の解ですが、x-1=0 から導かれるもので、ｘ²+x+1=0 から導かれるものではありませ
ん。よって、x=1 は、x²+x+1=0 の解ではありません。