x^2分の1の積分について

y=1/x^2 …①の関数について
積分すると －1/x+c になると思います。

しかし、x座標0からrまでの面積を求めようとすると
-1/rになり、面積がマイナスになってしまいます。

どこが間違っているのでしょうか？
yは常に0より大きいですし、なぜマイナスになるんでしょう？？

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/05/01 21:42

＞ どこが間違っているのでしょうか？

-1/x + c に x = 0 を代入しようとしたとこ。

広義積分と捉えるとすれば
∫(0,r]{ 1/x² }dx = lim[a→+0]∫(a,r]{ 1/x² }dx
= lim[a→+0]{ -1/r - (-1/a) }
= - 1/r + lim[a→+0]{ 1/a }
ですが、
lim[a→+0]{ 1/a } = +∞ なので、
∫(0,r]{ 1/x² }dx は +∞ へ発散します。

積分は収束しませんが、少なくともマイナスではないです。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2020/05/01 20:25

＞x座標0からrまでの面積

x=0 では無限大になるので求まりません。

0<a<b のときに a～b で定積分すれば
　-1/b + 1/a > 0
になりますよ。

なお、「積分すると面積になる」と覚えているのであれば、その積分は「マイナス」になることもあります。
直角三角形で「三角比」を覚えると必ず「正」ですが、三角関数としては負の値も取り得るのと同じです。

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/05/01 18:26

普通の定積分ならx=0で不連続になるため、積分できない。

広義積分なら、広義積分可能かを判定し、積分可能であれば計算を行う。