背理法の問題です。 √2が無理数であることを証明する時は互いに素のa b2つを用いるのに 3+2√2

背理法の問題です。
√2が無理数であることを証明する時は互いに素のa b2つを用いるのに
3+2√2が無理数であることを証明する時は有理数r1つだけなのでしょうか。
解説お願いします

No.1 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/06/07 11:50

前者は√2が無理数である　このこと自体を証明しようというものです・・・すなわち√２は有理数なのか無理数なのか分かっていないという立場での証明になります

一方、3+2√2=rとおくと
⇔3=r-2√2
両辺2乗で
9=8-4√2r+r²
⇔9-8-r²=-4r√2
⇔√2=(-1+r2)/4
ここで左辺は無理数　右辺は有理数で矛盾　という事だと思いますが
√２は無理数であるということはすでに分かっている　という立場で証明したことになります

つまり、√２が無理数だとわかっていないときはab2つが必要
無理数だとわかっていればrだけで事足りるということです

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2020/06/08 23:32

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/06/07 16:33

その有理数 r を分数で書けば、

分子と分母で ２ つの正数になるってだけのことじゃない？

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2020/06/08 23:32

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2020/06/07 14:29

＞3+2√2が無理数であることを証明する時は有理数r1つだけなのでしょうか。

√2 が 無理数であることが 分かっている場合ですね。
そうでない場合は、「√2が無理数であることを証明する時」と
同じ手順が 必要です。

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2020/06/08 23:33

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/06/07 12:25

話の筋が見えない。

何かの解説を見ながら書いてる？