三角関数の単元で tanA=2(0°<A<90°)の時 sin^2A -cos^2A の解き方を教え

三角関数の単元で
tanA=2(0°<A<90°)の時
sin^2A -cos^2A の解き方を教えてください。

このときAは30°と45°と60°の3種類とけば良いのでしょうか？

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2020/06/19 12:54

0°<A<90° ですから 直角三角形で 考えます。

tanA=2 ですから、三平方の定理から sinA=2/√5 , となります。
従って、 sin²A-cos²A=sin²A-(1-sin²A)=2sin²A-1 → 2*(4/5)-1=3/5 。
（※ tanA=2 となる様な A の値は、電卓で A≒63.4° となります。）

No.2 回答者： konjii 回答日時： 2020/06/19 08:16

余弦定理から

tanA=2(0°<A<90°)の時cosA=(5+1-4)/(2*√5*1)=1/√5
tanA=sinA/cosA=2、sinA=2cosA
sin²A -cos²A ＝３cos²A=3/5
角度Aを求めるのは特殊な場合で大抵sinA,cosA,tanAで扱います。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/06/19 06:18

tan A = 2 なんですから、 A は 30° でも 45° でも 60° でもありません。

tan30° = 1/√3, tan45° = 1, tan60° = √3 ですからね。

sin^2 A - cos^2 A = (1 - cos^2 A) - cos^2 A = 1 - 2cos^2 A なので、
tan と cos の関係 1/cos^2 A = (cos^2 A + sin^2 A)/cos^2 A = 1 + tan^2 A を使えば
sin^2 A - cos^2 A = 1 - 2/(1 + tan^2 A) = 1 - 2/(1 + 2^2) = 3/5 と計算できます。

もっと素朴に、辺比 1：2：√(1^2 + 2^2) の直角三角形の図を書いて
sin A = 2/√5, cos A = 1/√5 から直接計算してもいいです。

いずれにせよ、A の具体的な値が判る必要はありません。