この物理の問題の解き方を教えてください。力学的エネルギー保存の式は立てたのですが、そこからがどうすれ

この物理の問題の解き方を教えてください。力学的エネルギー保存の式は立てたのですが、そこからがどうすればいいのか分かりません。

質問者からの補足コメント

• 最高点の速度をv1とおいて、
  出発点と最高点での力学的エネルギー保存式
  1/2mv0^2+mgh0=1/2mv1^2+mgh1
  を立てたのですが、v1の表し方がどうしてもわからないのです。

    補足日時：2020/06/22 14:40

• 最高点ということは、
  垂直抗力の鉛直成分と重力が等しくなると考えて、
  mv1^2/(h1 tanθ) = mg/sinθ・cosθ
  という式を立ててみました。
  この式は成り立っているのでしょうか、、、

    補足日時：2020/06/22 15:46

No.8 回答者： syotao 回答日時： 2020/06/25 16:17

私がNo.6で示した角運動量のｚ軸方向の成分の保存は確定的です。

したがってこれから
ｈ₁ｖ₁＝ｈ₀ｖ₀　が出てきます。
さてかりに高さｈ₁のところで等速円運動するとすれば
指摘されているように」ｖ₁²＝ｇｈ₁　がなりたつ。
この2式からｈ₁、ｖ₁をｇ、ｖ₀、ｈ₀であらわしても
1/2ｍｖ₁²＋ｍｇｈ₁＝1/2ｍｖ₀²＋ｍｇｈ₀にならないのはあきらかです。
つまり力学的エネルギー保存則が成り立たない。
これは矛盾だから最高点に達してそのまま等速円運動にはならずに
コーンにそって落ちていくのです。

No.7 回答者： yhr2 回答日時： 2020/06/25 00:27

No.3 です。

ちょっと見直しましたが、#3 は間違いがあるようですね。

「向心力」だとちょっとうまく説明できないので、運動する小球の座標から「遠心力」で考えると、
・遠心力の斜面上向き成分：[m(v1)^2 /r1]sinθ
と
・重力の斜面下向き成分：mgcosθ
がつり合えば一定半径で水平な円運動を継続するので、高さ h1 でのつり合いは

　[m(v1)^2 /r1]sinθ = mgcosθ

ということですね。#3 の立式はちょっと勘違いをしていたみたいです。
一応、最高点では「水平な円運動」をするものと考えました。

これを変形して
　m(v1)^2 /r1 = mgcosθ/sinθ
かつ
　r1 = h1･tanθ
より
　m(v1)^2 /(h1･tanθ) = mgcosθ/sinθ
ですから、どうやら質問者さんが「補足」に立式されたものが正しいようですね。

これは
　m(v1)^2 /(h1･tanθ) = mg/tanθ
ですから
　(v1)^2 = g･h1
ということになります。

これを力学的エネルギー保存の式
　(1/2)m(v1)^2 = (1/2)m(v0)^2 + mg(h1 - h0)
に代入すれば
　(1/2)m･g･h1 = (1/2)m(v0)^2 + mg･h1 - mg･h0
→　g･h1 = 2g･h0 - (v0)^2
→　h1 = 2h0 - (v0)^2 /g

ちょっと自信がありませんが。

#6 さんのものは、角運動量保存を使っていますが、#4&5 さんがおっしゃっているように、v0 のときに「高さ h0 で円運動している」と考えてよいのかどうか、よく分かりません。

また、上の解き方では、高さ h1 のところで「円運動する」と仮定しましたが、「最高点」の定義が、高さ h0 を速度 v0 で横切る「楕円軌道の運動」を考えたときの「最高点」の意味だとすると、違った内容になります。

No.6 回答者： syotao 回答日時： 2020/06/23 12:02

角運動量の時間変化率＝外力のモーメントの和を使います。

表記の運動の過程で質点の外力は重力とコーンからの抗力だが
重力の原点（コーンの底点）Ｏのまわりのモーメントベクトルは
ｚ軸と垂直、またコーンがなめらかなら抗力のＯの周りのモーメントもｚ軸と垂直
したがって運動中外力のＯのまわりのモーメントのｚ軸成分は0になる。
したがってこれは今述べた式により運動中Ｏのまわりの角運動量のｚ方向成分が
保存されるということです」。このことと
初速度および最高点の速度ベクトルの向きが水平であることから
最初の位置、最高点の位置での質点のｚ軸からの距離をそれぞれｒ₀、ｒ₁
とすれば、それぞれの位置での角運動量のｚ成分はｒ₀ｍｖ₀、ｒ₁ｍｖ₁で
これが等しいから　ｒ₀ｍｖ₀＝ｒ₁ｍｖ₁、ｒ₀ｖ₀＝ｒ₁ｖ₁、これから
ｖ₁＝(ｒ₀/ｒ₁)ｖ₀＝(ｈ₀/ｈ₁)ｖ₀　となって
これを力学的エネルギー保存則から出てきた式に入れると
ｈ₁の3次方程式が出ます。これを解くわけですが
この3次方程式はｈ₁＝ｈ₀という解をもっているので
多項式の因数定理により3次式を因数分解して出てくるｈ₁の2次式＝0
を解いてもとめるｈ₁が出てきます。
すこしめんどうですががんばってください。

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/06/22 23:30

多分

d^2h/dt^2=h(sinθ)^2(dΦ/dt)^2-g
h^2(dΦ/dt)=const(角運動量保存)
を解けばよい気がするけど
動きが解らんです。

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/06/22 22:26

回答ではないのですが、なんか不安。

最高点に達すると、水平な円運動に移行するってことかな?

斜めの回ったりはしない?

そこを確かめる必要が有りそう。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2020/06/22 18:43

No.2 です。

「補足」を見ました。

＞最高点ということは、
＞垂直抗力の鉛直成分と重力が等しくなると考えて、
＞mv1^2/(h1 tanθ) = mg/sinθ・cosθ
＞という式を立ててみました。

ちょっと違うような。
θ は三角錐の頂角なので、重力 mg が斜面を押す力は
　mg*sinθ
なので、垂直抗力もこれと同じ大きさで逆向き。
この水平方向の成分が「向心力」に等しくなればよいので
　mg*cosθ*sinθ = m(v1)^2 /r
ここで円運動の半径は
　r = h1*tanθ
なので
　mg*cosθ*sinθ = m(v1)^2 /(h1*tanθ)
よって
　(v1)^2 = g*h1*sin^2(θ)
かな。

これを力学的エネルギー保存の式
　(1/2)m(v1)^2 = (1/2)m(v0)^2 + mg(h0 - h1)
に代入すれば
　(1/2)m*g*h1*sin^2(θ) = (1/2)m(v0)^2 + mg(h0 - h1)

整理すれば、m は共通なので
　g*h1*sin^2(θ) = (v0)^2 + 2g*h0 - 2g*h1
→　g*h1[2 + sin^2(θ)] = (v0)^2 + 2g*h0
→　h1 = [(v0)^2 + 2g*h0] / {g*[2 + sin^2(θ)]}

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2020/06/22 14:45

No.1 です。

「補足」を見ました。

v1 が「最高点」であることは、どのようにして表わしますか？

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2020/06/22 14:36

＞力学的エネルギー保存の式は立てたのですが

どういう式を立てましたか？
そこから、何と何を等しいと考えますか？

論理的な考え方を書いてみてください。