ε‐δ論法の添削をお願いします。

x^(-1)がx=1で連続であることを示します。

任意にε>0をとる。
0<δ<1を、δ＝ε-1を満たすようにとる。
このとき、0<│x-1│<δ ならば、
│1/x-1│≤│1/x│＋１＜│1/（x-1）│＋１＜δ＋１＝ε

よく、δをmin{1,～}などのようにとっているのを見かけるのですが、これはそうにとらなくても大丈夫ですか？
自信が無いので、間違っているところや、付け足した方がいいところがありましたら、指摘してほしいです。よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• 考えたのですが、わからないのでもし正しい証明がわかる方がいれば、教えてください。

    補足日時：2020/06/25 19:57

• 

  ご返信ありがとうございます。
  一つ質問なのですが、（１）のところで|x-1|<1/2としておりますが、
  これは、例えば「|x-1|<1/4」などのように置いても大丈夫ですか？
  もしそしたら、δ＝min{1/4,3ε/4} というようになると思うのですが…
  ご返信をいただけたら幸いです。

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/06/29 13:37

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/06/25 15:30

＞ 0<δ<1 を、δ=ε-1 を満たすようにとる。

ことができるのは、1<ε<2 である場合だけ。
任意の ε>0 に対して
その証明に書かれたとおりに δ をとることができません。
ダメです。考えなおしましょう。

この回答へのお礼

やっぱりだめですか。
ありがとうございます、、。

お礼日時：2020/06/25 17:36

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/06/26 02:57

なにをどう「考え」て「わからな」かったんだ?

任意の正数 ε に対して正数 δ が存在し |x - 1| < δ のとき |1/x - 1| < ε
といいたいわけだ.

ここから逆算して, ε に対して δ を求めればいい.

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/06/26 10:17

任意のε>0

に対して

|(1/x)-1|<ε
を示すためには

|(1/x)-1|
=|(1/x)-(x/x)|
=|(1-x)/x|
=|1-x|/|x|
=|x-1|/|x|
<ε

|x-1|/|x|<ε
を示せばよい

ここで仮に
|x-1|<1/2…(1)
とすると

1-|x|≦|x-1|<1/2
1-|x|<1/2
1/2<|x|
1/|x|<2
↓両辺に|x-1|をかけると
|x-1|/|x|≦2|x-1|

となるから
2|x-1|<εを示せば|x-1|/|x|<εを示した事になるから

|x-1|<ε/2
を示せばよい
これと(1)から
δ=min(1/2,ε/2)
とすればよい事がわかる

任意のε>0
に対して
δ=min(1/2,ε/2)
とすると
|x-1|<δ
ならば
1-|x|<|x-1|<δ≦1/2
1-|x|<1/2
1/2<|x|
1/|x|<2

|(1/x)-1|=|x-1|/|x|<2δ≦2ε/2=ε

この回答へのお礼

ご返信ありがとうございます。補足だとお気づきにならない場合があるので、お礼という形で再度質問させていただきたいです。
（１）のところで|x-1|<1/2としておりますが、
これは、例えば「|x-1|<1/4」などのように置いても大丈夫ですか？
もしそしたら、δ＝min{1/4,3ε/4} というようになると思うのですが…
ご返信をいただけたら幸いです。

お礼日時：2020/06/29 13:41

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/06/26 14:17

∀ε>0,∃δ>0, |x - 1| < δ ⇒ |1/x - 1/1| < ε.　…[1]

を満たす δ を具体的に挙げれば、証明は済む。
その δ をどうやって見つけたかは証明の一部ではない
から書かなくてかまわないのだけれど、
世間で「εδは難しい」と言われる理由の大部分は
∀ε∃δ という論理構造の難しさよりも、むしろ
例題を解いたときに δ をどうやって見つけるのか分からない
という取り付く島のなさから来ているような気はする。
で、私が δ を見つけた方法を書いてみるのだけれど...

|x - 1| < δ ⇒ |1/x - 1/1| < ε は、絶対値記号の扱いが面倒くさい。
そこで、 |x - 1| < δ を -δ < (x - 1) < 0 と 0 ≦ (x - 1) < δ に
分割してみる。 すると、
∀ε>0,∃δ>0, -δ < (x - 1) < 0 ⇒ 1/x - 1 < ε.　…[2]
∀ε>0,∃δ>0, 0 ≦ (x - 1) < δ ⇒ -ε < 1/x - 1.　…[3]
[1] は ([2] かつ [3]) と同値である。
δ に課す条件として [2] が [3] より厳しい。 そのことは
y = 1/x のグラフが左のほうほど切り立っていることを見れば判る。
[2] を満たす δ を見つければ [1] のために十分だということである。
そのような δ の上限を探すために、
-δ = (x - 1) のとき 1/x - 1 = ε となる δ を求めよう。
両式から x を消去すれば、δ = ε/( ε+1) となる。
以上より、所与の ε に対して
0 < δ < ε/( ε+1) の範囲に δ をとれば [1] が満たされる。

もちろん、このような思考過程は伏せて
「δ < ε/( ε+1) とすればよい。」だけでも証明は完成する。

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/06/29 17:27

1/4でも(1/(n+1)でも)よいです

任意のε>0
に対して

|(1/x)-1|<ε
を示すためには

|(1/x)-1|
=|(1/x)-(x/x)|
=|(1-x)/x|
=|1-x|/|x|
=|x-1|/|x|
<ε

|x-1|/|x|<ε
を示せばよい

ここで仮に
|x-1|<1/4…(1)
とすると

1-|x|≦|x-1|<1/4
1-|x|<1/4
3/4<|x|
1/|x|<4/3
↓両辺に|x-1|をかけると
|x-1|/|x|≦4|x-1|/3

となるから
4|x-1|/3<εを示せば|x-1|/|x|<εを示した事になるから

|x-1|<ε/4<3ε/4
を示せばよい
これと(1)から
δ=min(1/4,ε/4)
とすればよい事がわかる

任意のε>0
に対して
δ=min(1/4,ε/4)
とすると
|x-1|<δ
ならば
1-|x|<|x-1|<δ≦1/4
1-|x|<1/4
3/4<|x|
1/|x|<4/3

|(1/x)-1|=|x-1|/|x|<4δ/3≦ε/3<ε

この回答へのお礼

よくわかりました。ありがとうございました！

お礼日時：2020/06/29 18:48