力学 最大角速度

力学の問題でわからないところがあり、教えていただきたいです。

画像のような屈曲棒を、画像の位置から静かに手を離した時、最大角速度を求めよ、という問題です。
運動方程式は、以下のように求められました。この式は正しいことは確認済みです。
θ’’=3g(cosθ-sinθ)/2l
ここで、θ’’はθを時間で二階微分したものです。
θ’’=dω/dθ•dθ/dt=dω/dθ•ω から、
ωdω= 3g(cosθ-sinθ)/4l•dθ
と変形し、積分及びθ=0でω=0であることから、
ω^2= 3g(sinθ+cosθ-1)/2l
と求まりました。
θ=π/4の時にθ’’=0であることから、
ωmax=√[3g(√2-1)/2l]
と求めたのですが、解き方が合っているのかがよくわかりません。

例えば、よくある微小角での振動方程式
θ’’=-gsinθ/l
のとき、sinθ≒θから、ω=√(g/l)
と求められますが、上と同じやり方でやった場合、
ωdω= -(gsinθ/l)•dθ
ω^2=2g/l
となってしまい、この解き方が間違っているのかな思ったのです。

解き方が間違っているのであれば、解き方を教えていただきたいです。
解き方があっている場合でも、答えの数値が不安なので、もし可能であれば答えがあっているか計算して確認していただきたいです。

長くなりましたが、よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2020/07/02 16:22

＞ω^2= 3g(sinθ+cosθ-1)/2l

＞と求まりました。
＞θ=π/4の時にθ’’=0であることから、
＞ωmax=√[3g(√2-1)/2l]
＞と求めたのですが、

はい、合っていると思います。

＞例えば、よくある微小角での振動方程式
＞θ’’=-gsinθ/l
＞のとき、sinθ≒θから、ω=√(g/l)
＞と求められますが、

これは θ <<1 として ω=const と仮定した近似ですから、今回のように「ω が時間変化する」とした厳密解とは一致しません。

しいてそれが正しいかどうか検算するとしたら、θ = パイ/4 のときと初期状態の「位置エネルギー」の差が運動エネルギーになっていることを利用して、θ = パイ/4 のときの重心位置が支点の下 (√2 /4)L であることから、
・初期のＡウィングの位置エネルギー
　　(mg/2) * (√2 /4)L = (√2 /8)mgL
・初期のＢウィングの位置エネルギー
　　(mg/2) * [(√2 /4)L - (1/2)L] = -[(2 - √2)/8]mgL
・よって、初期状態の位置エネルギーは
　　(√2 /8)mgL - [(2 - √2)/8]mgL = [(√2 - 1)/4]mgL

これが θ = パイ/4 のときの最大角速度の運動エネルギー
　(1/2)Iω^2
に等しいので、I = (1/3)mL^2 を使って
　(1/2)Iω^2 = (1/6)mL^2 *ω^2 = [(√2 - 1)/4]mgL
よって
　ω^2 = 3[(√2 - 1)]g/(2L)
より
　ωmax = √[3[(√2 - 1)]g/(2L)]
で一致します。

この回答へのお礼

とても詳しく、ありがとうございます！

お礼日時：2020/07/07 16:08

No.2 回答者： syotao 回答日時： 2020/07/02 18:03

あなたは

θ’’=-gsinθ/lのとき、sinθ≒θから、ω=√(g/l)と書いていますが
そのωは角速度ではなくθ＝0のまわりの単振動の角周波数です。
θ＝0のときの最大角速度ではない。

微小振動の最大振れ角をθ₀とすれば
θ’’=-gsinθ/l　から導く場合最大角速度は
(ωmax)²＝(2ｇ/ℓ)(1－cosθ₀)＝(4ｇ/ℓ)sin²(θ₀/2)になるが
θ₀も小さいのでsin(θ₀/2)＝θ₀/2と近似すれば
(ωmax)²＝(ｇ/ℓ)θ₀²
一方初めから近似式
θ’’=-gθ/l　でこの微小振動を扱えば
(ωmax)²＝(ｇ/ℓ)θ₀²　になってどちらでも一致します。

No.3 回答者： rnakamra 回答日時： 2020/07/02 18:13

最初の解法で問題なし。

多分計算も間違っていない。

二つの近似はさすがに間違い。角速度が一番大きくなるのはθ=π/4の時です。θ≒0の近似が成り立つわけがない。
別の質問でもお答えしましたが
sinθ-cosθ=(√2)sin(θ-π/4)
と変形できます。
これは|θ-π/4|<<1であれば
sin(θ-π/4)≒θ-π/4
と近似してもかまいませんが、動き始めの段階でθ=0、つまりθ-π/4=-π/4とそれなりの大きさを持つためこの近似では誤差が大きすぎます。