空間ベクトルの問題③

お世話になります。
以下の問題の添削をお願いします。

問題１
A（0,0,3）,B（3,4,2）,C（1,2,2）を頂点とする三角形ABCの面積を求めよ

解答
A（0,0,3）が原点Oと重なるように移動する。
同じだけ移動したBをB'（3-0,4-0,2-3）=(3,4,-1), C'（1-0,2-0,2-3）=(1,2,-1)とする。

このとき、三角形ABCの面積と三角形OB'C'との面積は等しくなるから、

S＝1/2 √{(ベクトルOB')^2 * (ベクトルOC')^2 - (OB'・OC')^2}
=1/2 √{(3,4,-1)^2 * (1,2,-1)^2 - ((3,4,-1)・(1,2,-1))^2}
=1/2√(26)*(6)-(9+64+1)
=1/2√(156-74)=1/2√82

三角形ABCの面積　1/2√82

No.1 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/07/05 12:00

A（0,0,3）が原点Oと重なるように移動する。

同じだけ移動したBをB'（3-0,4-0,2-3）=(3,4,-1), C'（1-0,2-0,2-3）=(1,2,-1)とする。
>>>なんとなく日本語としておかしいですよね
記述の一例：「点A（0,0,3）が原点Oと重なるように、3点A,B,Cが作る平面をｚ軸方向に-3だけ平行移動する。
すると　ＢはB'(3,4,-1)にＣはC'(1,2,-1)に移る」

S＝1/2 √{(ベクトルOB')^2 * (ベクトルOC')^2 - (OB'・OC')^2}
これは　教科書には載っていない　いわば準公式ではないでしょうか？
ならば　いきなりこの順公式を記述しては論理的飛躍がありすぎと判定されて減点されてしまうかも

そこで　途中式をおぎなう必要があり
S=(1/2)|OB'||OC'|sinθ＝(1/2)|OB'||OC'|√(1-cos²θ)
=・・・＝1/2 √{(ベクトルOB')^2 * (ベクトルOC')^2 - (OB'・OC')^2}
というように参考書などにあるこの公式の導出式を書き出してください

もっともこの準公式の導出法とその意味が分かっているなら
出だしの平行移動は不要で
A（0,0,3）,B（3,4,2）,C（1,2,2）　をそのまま用いて面積計算ができます

なお、計算ミスの有無については確認していませんので自分で検算してください

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/07/05 13:11

△ABC = △OB'C' までは良いが、その次の行で

S＝1/2 √{(ベクトルOB')^2 * (ベクトルOC')^2 - (OB'・OC')^2}
と計算した理由が何も書いてないから、この答案は
いきなり 1/2√82 とだけ書いて終わった答案と何の違いもない。

答えがあっていればまだしもだが、値も違っている。
ミスは、√{(3,4,-1)^2 * (1,2,-1)^2 - ((3,4,-1)・(1,2,-1))^2}
= √(26)*(6)-(9+64+1) にあるが、何を誤解したらこうなるのかは
ちょっと想像できない。 このミスでは、
1/2 √{(ベクトルOB')^2 * (ベクトルOC')^2 - (OB'・OC')^2}
という式がどういう式だか解っているとは思えないので、
立式自体ちゃんと解って行ったとは考えられない...
と採点者に判断されてもしかたがない。

S = (1/2) √{ (ベクトルOB')^2 * (ベクトルOC')^2 - (OB'・OC')^2 }
= (1/2) √{ (3,4,-1)^2 * (1,2,-1)^2 - ((3,4,-1)・(1,2,-1))^2 }
= (1/2) √{ 26*6 - (3+8+1)^2 }
= (1/2) √12
= √3.
と計算すれば、値は正しく出るけれども。

あまり有名でない面積公式を使ってもよいのであれば、外積を使って
S = (1/2) | →AB × →AC |
= (1/2) | (3,4,-1) × (1,2,-1) |
= (1/2) | (-2,2,2) |
= (1/2) 2√3
= √3.
とするのが簡単。

ちなみに
S = (1/2) √{ (ベクトルOB')^2 * (ベクトルOC')^2 - (OB'・OC')^2 }
という式は、 →OB' と →OC' のなす角を θ として
S = (1/2) |→OB'| |→OC'| sinθ と
→OB' ・ →OC' = |→OB'| |→OC'| cosθ から
(cosθ)^2 + (sinθ)^2 = 1 を使って θ を消せば導ける。