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A 回答 (3件)
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No.3
- 回答日時:
これは、問題も悪い。
剰余項の表示のしかたについてハッキリと指定してないから。
「t って何だよ?」って感じ。
たぶん Hint のところに、どんな風に書いて欲しいかの
例が示してあったのだろうとは思うが...
こういういかげんな出題って、日本の受験参考書には多いけれど、
洋書にもあるんだねえ。 n=4 も何だかなな書き方だし。
著者は、ちゃんと解って書いてんのかな?
あなた側の問題として、まず知っておくべきは、
「n=4 までのマクローリン展開」なんてものは存在しないこと。
無限級数展開がマクローリン展開であって、
4次で打ち切ったものは、あくまで「4次のマクローリン近似」。
近似式であり、もとの f(x) とイコールにはならない。
その誤差 f(x) - { f(x) のマクローリン近似 } を「剰余項」と呼ぶ。
この問題は、解答欄が「f(x) =」となっているので
剰余項つきで書かなくてはならないが、
剰余項の表示のしかたにはいろいろ方法がある。
一番なんちゃってなのは f(x) - { f(x) のマクローリン近似 } を
そのまま書いてしまう方法で、この問題で言えば
f(x) = 3 + (1/12)x - (1/648)x^2 + (1/15552)x^3 - (1/279936)x^4
+ { √(9+x) - 3 - (1/12)x + (1/648)x^2 - (1/15552)x^3 + (1/279936)x^4 }.
この式の { } の部分が剰余項だ。
もっと世間に受け入れられる書き方にもいろいろ種類がある。↓
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%82%A4 …
リンク先は「テイラーの定理」なので、今回は a=0 として読んでほしい。
No.2
- 回答日時:
マクローリン展開ではなく、マクローリンの定理のことを言っているのだと思う。
マクローリンの定理は、
f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)x^2/2!+ … +(f(x)のn-1回微分におけるx=0)x^(n-1)/(n-1)! + R[n]
R[n]=(f(x)のn回微分におけるx=c)x^n/n!
を満たすc(0<c<xを満たす)が存在する。
という定理。
このR[n]は剰余項と呼ばれている。
lim[n→∞]R[n]=0なら、無限級数展開が可能、すなわちマクローリン展開になる。
つまり、今回の問題は、
f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)x^2/2!+f'''(0)x^3/3!+R[4]
=f(0)+f'(0)x+f''(0)x^2/2!+f'''(0)x^3/3!+f''''(c)x^4/4!
を示せと言っているのだと思う。
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