重ねの定理の証明

図でE1とE2を印加した時R1に流れる電流を重ねの定理を使ってI=3(100-R3)/100(3R+100)のようになることを証明せよという問題が分かりません。
どなたか教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2020/08/01 21:55

以下で、R₁//R₂はR₁とR₂の並列接続をしめす。

つまり、その抵抗値は　R₁//R₂=R₁R₂/(R₁+R₂)

1.
E₂=0として、R₁の電流I₁を求める。このとき、E₂の内部抵抗は0だから、b-c間はショートとなる。
するとE₁はR₁//R₂+R₃//R₄に印加されるからE₁の電流J₁は
J₁=E₁/{R₁R₂/(R₁+R₂)+R₃R₄/(R₃+R₄)}=E₁(R₁+R₂)(R₃+R₄)/{R₁R₂(R₃+R₄)+R₃R₄(R₁+R₂)}
となる。すると

R₁I₁=R₂(J₁-I₁) → I₁=R₂J₁/(R₁+R₂)=E₁R₂(R₃+R₄)/{R₁R₂(R₃+R₄)+R₃R₄(R₁+R₂)}・・・・①
I₁の方向はa → bである。

2.
つぎに、E₁=0として、R₁の電流I₁' を求める。このとき、E₁の内部抵抗は0だから、a-d間はショー
トとなる。するとE₂はR₁//R₃+R₂//R₄に印加されるからE₂の電流J₂は上と同様に計算できるが、上
の結果①との対称性から、E₁ → E₂、抵抗をR₂ → R₃、R₃ → R₂と変更すればよい。すると、R₁に
流れる電流I₁'は

I₁'=E₂R₃(R₂+R₄)/{R₁R₃(R₂+R₄)+R₂R₄(R₁+R₃)}
I₁'の方向はb → aである。

3.
したがって、①と②の分母は等しく
{R₁R₂(R₃+R₄)+R₃R₄(R₁+R₂)}={R₁R₃(R₂+R₄)+R₂R₄(R₁+R₃)}
だから
I=I₁-I₂={E₁R₂(R₃+R₄)-E₂R₃(R₂+R₄)}/{R₁R₂(R₃+R₄)+R₃R₄(R₁+R₂)}
=3{100(R₃+100)-R₃・200}/{100²(R₃+100)+R₃・100・200}
=3{R₃+100-2R₃}/{100(R₃+100)+200R₃}
=3(100-R₃)/{100(3R₃+100)}

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2020/08/02 13:53