ガウス関数について教えてください

f(x) =∫【 ０→ｘ】 (1−t＾2)e＾(−t＾2)dt (x ∈R).
このとき
(1) lim【x→+∞】f(x), lim【x→−∞】f(x) を求めよ.
(2) y = f(x)の極値と変曲点を求めよ
f(x)=∫[0,x] (1-t^2)e^(-t^2) dt
=∫[0,x] e^(-t^2) dt - ∫[0→x] (t^2)e^(-t^2) dt
=∫[0,x] e^(-t^2) dt - ∫[0→x] (-t/2)(-2t)e^(-t^2) dt
=∫[0,x] e^(-t^2) dt + ∫[0→x] (t/2)(-2t)e^(-t^2) dtという
ところまではわかりました 次に進めません

∫【０→∞】e＾−x＾2dx =√π/ 2となるのは、かります

質問者からの補足コメント

• あと
  [ { t^(n+1)/(n+1) }e^(-t^2) ]_(0→+∞)が０－０になるのはなぜですか
  - ∫[0→+∞] (1 - u^2)e^(-u^2) du = √π/4.となるのはなぜですかー√π/4ではなくて
  ２点について教えてください

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/08/07 20:59

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/08/07 19:21

＞ 具体的な数値はどうやって代入しますか？

＞ x=0 1 -1 √2 -√2

f(±1) や f(±√2) の値を、初等的に表示する方法は無いなあ。
erf(x) = (2/√π)∫[0,x] e^(-t^2) dt で定義されるガウスの誤差関数 erf が
有名特殊関数であり、これを使って今回の値を表示することはできる。
f(1) = - f(-1) = (√π/4) erf(1) + 1/(2 e),
f(√2) = - f(-√2) = (√π/4) erf(√2) + 1/(√2 e^2).

ここまでやっても、erf(1) や erf(√2) はこれ以上どうしようもないし、
もともと f(x) と erf(x) がよく似た定義の関数なので、
こんなことして何の意味があるのかは不明だけど。

この回答へのお礼

ありがとうございます
グラフを書かなければ行けないので具体的な数値が必要になります
erfとは何ですか？

お礼日時：2020/08/07 20:55

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/08/06 14:09

＞ =∫[0,x] e^(-t^2) dt + ∫[0→x] (t/2)(-2t)e^(-t^2) dtこの展開は必要ありますか？

右辺の第2項を部分積分したいなら、そうすればええやん。
ちゃんと答え出るよ。
No.1 の部分積分とは、積分するほうと微分するほうが逆なる。

この回答へのお礼

fxに具体的な数値はどうやって代入しますか？
x=0 1 -1 √2 -√2

お礼日時：2020/08/07 18:29

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/08/06 13:27

＞ ∫【０→∞】e＾−x＾2dx =√π/ 2となるのは、かります

それが解れば、もう終わりちゃうの？
そこが、この問題でいっちゃんめんどなとこやから。
"ガウス積分" でググると出てくるけどな。

(1)
E[n] = ∫[0→+∞] (t^n)e^(-t^2) dt と置いて、部分積分すると、
E[n] = [ { t^(n+1)/(n+1) }e^(-t^2) ]_(0→+∞) - ∫[0→+∞] { t^(n+1)/(n+1) }e^(-t^2)・(-2t) dt
= { 0 - 0 } + { 2/(n+1) }∫[0→+∞] t^(n+2) e^(-t^2) dt
= { 2/(n+1) } E[n+2].
よって、
E[2] = (1/2) E[0] = √π/4,
lim[x→+∞] f(x) = E[0] - E[2] = √π/4,
lim[x→-∞] f(x) = ∫[0→-∞] (1 - t^2)e^(-t^2) dt = ∫[0→+∞] (1 - u^2)e^(-u^2) (-du)　； t = -u
= - ∫[0→+∞] (1 - u^2)e^(-u^2) du = √π/4.

(2)
df(x)/dx = (1-x^2)e^(-x^2),
d^2 f(x)/dx^2 = 2x(x^2-2)e^(-x^2)
から増減表を書くと、
x　　　　　-√2　　　　　　　-1　　　　　　0　　　　　　　　1　　　　　　+√2
f’’　　-　　　0　　　　　　　+　　　　　　　0　　　　　　　　-　　　　　　　0　　　+
f’　　　　　　+　　　　　　　0　　　　　　　-　　　　　　　　0　　　　　　　+
f 　　　　　変曲　　　　　　極大　　　　　　変曲　　　　　　極小　　　　　　変曲

最後まで f(x) を ∫ なしの式で書かんでえかったことが、ポイントっちゃポイントかな。

この回答へのお礼

ありがとうございます
最初にかいた
f(x)=∫[0,x] (1-t^2)e^(-t^2) dt
=∫[0,x] e^(-t^2) dt - ∫[0→x] (t^2)e^(-t^2) dt
=∫[0,x] e^(-t^2) dt - ∫[0→x] (-t/2)(-2t)e^(-t^2) dt
=∫[0,x] e^(-t^2) dt + ∫[0→x] (t/2)(-2t)e^(-t^2) dtこの展開は必要ありますか？

お礼日時：2020/08/06 13:47