空間ベクトルの問題

空間ベクトルの問題が分からないので、解き方・考え方を教えてください。「1辺の長さが1の正四面体OABCにおいて、辺OAの中点をP、辺ABを2:1に内分する点をQ、辺BCを1:4に内分する点をRとする。→OA=→a、→OB=→b、→OC=→cとするとき、
(1)線分PRを1:2に内分する点をMとし、直線OMと平面ABCの交点をNとするとき、→ONを→a、→b、→cを用いて表しなさい。
(2)辺OC上に、∠QPS=90°になるように点Sをとるとき、OS:SCを簡単な比で表しなさい。
(3) (2)のSに対して４点P、Q、R、Sが同一平面上にあることを示しなさい。」

質問者からの補足コメント

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  (1)はなんとか解けそうですが、(2)以降が厳しいです。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/08/13 00:41

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  「→ON=t(→OM)と書ける。(t>0の実数)」の部分で、tが実数であることを書かないと減点されますか？

  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/08/14 12:37

No.4 回答者： think2nd 回答日時： 2020/08/13 23:44

基本的な、素直な問題です。

　必ず図を描いて視覚化して、問題にあたってください。空間ベクトルがわからないのではありません。平面上のベクトルがわからないだけです。
　平面が見えるかです。解き方を言うより、解いた方が簡単です。道具は、ベクトルが互いに独立かどうか。ベクトルの実数倍の意味。内積の意味とその計算力。　線分の内分点のベクトルの求め方。くらいでしょうか。
(1)→OA=→a、→OB=→b、→OC=→cとする
　→OP=→a/2 、→OR=→b+(→BC)/5=4(→b)/5+(→c)/5,→AC=→c-(→a),(→AB)=→b+(→a)
→OM=(→a+(→OR))/3=(1/3){(→a)+4(→b)/5+(→c)/5}…①
　→OMの先でNに当たるから→ON=t(→OM)と書ける。(t>0の実数)
　平面ABC上のすべての点は→ACと→ABの2つの独立なベクトルで一意に表せる。つまり→AN=α(→AC)+β(→AB)　となるαとβが1組ある。
　これに①までを代入すると
　　(t/3-1)(→a)+4t(→b)/15+t(→c)/15=-(α+β)(→a)+β(→b)+α(→c)　3つのベクトルは互いに独立だからそれぞれの係数は等しい
ここからt=3/2　よって①より、→ON=(1/2){(→a)+4(→b)/5+(→c)/5}　かな
(2)　→PQ=(2(→PB)+(→PA))/3=(4(→b)-(→a))/6　
　辺OSの長さをsとすると→PS=s(→c)-(→a)/2
　　　→PQと→PSは垂直だから　→PQ・→PQ=0
　　(1/6)(4(→b)-(→a))・(s(→c)-(→a))=0を解いて
　　　　　　　　　s=1/3
　　　　OS:SC=1:2
(3) 3点P、Q、Sは同一平面上にあるからその平面上にRがあることを示す。

　　2つのベクトル→PQと→PSで→PRが表せることを言う。
　すなわち　　→PR=α(→PQ)+β(→PS)　となるαとβが存在することを言う。　
　→PR=(4(→PB)+(→PC))/5=(-1/2)(→a)+(4/5)(→b)+(1/5)(→c)、　→PS=-(→a)/2+(→c)/3,→PQ=(-→a+4(→b))/6
　だからこれらを代入して係数を比較する。

-(1/2)=-(α/6)-(β/2)…②
4/5=2α/3　　よりα=6/5
1//5=β/3　より　β=3/5

このα,βは②を満たすから、確かにαとβが存在する。
　ちょっと間を略しているから鉛筆と広告の裏の白紙を使って確認してください。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/08/13 01:46

計算はめんどくせーから方向性だけ.

(2) 「点S が辺OC 上にある」ことから OS はどう書ける? 「∠QPS=90°」という条件は, ベクトルと使うとどういう式になる?

(3) 例えば PQ, PR, PS がどのような条件を満たせば「同一平面上にある」といえる?

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/08/13 00:35

位置ベクトルを a, b, c で書いていけばなんとかなると思うんだけど... もっと具体的には何で困っている?