No.3ベストアンサー
- 回答日時:
<エレガントに解きましょう>
三角形の形を求めればいいので
|→a|=|→b|=|→c|=1,→a=(1,0,0)
としても一般性は失われない
今、→a+→b+→c=0より
→b+→c=(-1,0,0)・・・(1)
両辺を2乗すると
|→b|^2+|→c|^2+2|→b||→c|cos∠BOC=1+0+0
よって
1+1+2cos∠BOC=1
cos∠BOC=-1/2 つまり∠BOC=120°
今A,B,Cは半径1の円周にあるので
∠BAC=(1/2)∠BOC=60°・・・(2)
また(1)より→bと→cのy成分の絶対値は等しいので
∠BOA=∠COA
これと(2)よりΔABCは正三角形になる (証明終)
この回答へのお礼
お礼日時:2001/11/21 14:01
ほんとにエレガントでびっくりしました。
こーゆー考え方があるんですねー。
助かりました。
なんか、ベクトル面白くなってきました。
ありがとうございました。
No.2
- 回答日時:
ABベクトル、BCベクトル、CAベクトルの大きさが全部同じであることを示せばよいので、
(1)|AB|^2=|b-a|^2=|b|^2+|a|^2-2a・b
(2)|BC|^2=|c-b|^2=|c|^2+|b|^2-2b・c
(3)|CA|^2=|c-a|^2=|a|^2+|c|^2-2c・a
(1)=(2)=(3)を示せばよいことになります。
題意より|a|=|b|=|c|なので結局、
a・b = b・c = c・a
を示せばよいことになります。そこで、
|a|^2=|-b-c|^2=|b|^2+|c|^2+2b・c
変形して
b・c=(|a|^2-|b|^2-|c|^2)/2
|a|^2=|b|^2=|c|^2 = K とおくと
b・c=-K/2
|b|^2 と |c|^2 でも同じ計算をして
c・a=-K/2
a・b=-K/2
よって a・b = b・c = c・a
故に(1)=(2)=(3)で三角形ABCは正三角形であると証明できます。
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