平行四辺形の問題です。 平行四辺形 ABCD において、 AB^2 + BC^2 + CD^2 +

平行四辺形の問題です。

平行四辺形 ABCD において、
AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = AC^2 + BD^2 が成り立つことを示せ。

明らかに左辺の方が大きくなると思うのですがどなたか御教授お願いいたします。

No.3 回答者： ginga_kuma 回答日時： 2020/08/21 10:29

ACにBから垂線AE,Dから垂線DFをおろします

AB=a、BC=b、CD=c、DA=d、BE=DF=x、AF=CE=y とします
a^2=x^2+(AC-y)^2=x^2+AC^2-2yAC+y^2
c^2=x^2+(AC-y)^2=x^2+AC^2-2yAC+y^2
b^2=x^2+y^2
d^2=x^2+y^2
a^2+b^2+c^2+d^2=4x^2+4y^2+2AC^2-4yAC
また、x^2=y(AC-y)=yAC-y^2 より
a^2+b^2+c^2+d^2=4(yAC-y^2)+4y^2+2AC^2-4yAC
　　　　　　　　　　　=4yAC-4y^2+4y^2+2AC^2-4yAC
　　　　　　　　　　　=2AC^2
a^2+b^2+c^2+d^2=2AC^2　　　　　①
同様に、BDにA,Cから垂線をひいたとき
a^2+b^2+c^2+d^2=2BD^2　　　　　②
①+②より
2a^2+2b^2+2c^2+2d^2=2AC^2+2BD^2
a^2+b^2+c^2+d^2=AC^2+BD^2
よって、AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=AC^2+BD^2 が成り立つ

No.2 回答者： konjii 回答日時： 2020/08/21 07:51

以下ベクトル

AB^2+BC^2+CD^2+DA^2
=2(AB^2+AD^2)

AC^2+BD^2
=|AB+AD|^2+|AD-AB|^2
=2(AB^2+AD^2)

No.1 回答者： cametan_42 回答日時： 2020/08/21 04:28

???

「ピタゴラスの定理により・・・」じゃダメなのかね。