波動方程式のグリーン関数のことで悩んでいます。同次方程式
□G(R,t)=0 …(1)
G(R,0)=0, ∂G/∂t|(t=0) = δ(R) …(2)
を満たすグリーン関数を求めると
G(R,t)=δ(r-ct)/(4πcr) …(3)
となります。一方、非同次方程式
□G(R,t) = -δ(R)δ(t) …(4)
の(t>0での)グリーン関数を求めてもよく知られているようにやはり(3)のようになります。同次方程式と非同次方程式のグリーン関数がなぜ同じになってしまうのでしょうか。(3)は方程式に代入してみると(4)ではなく、(2)を満たしていることが分かります。それなのに(4)の解として(3)をとることは正しいのでしょうか。
No.3
- 回答日時:
(3)を満たすもの->(4)を満たすもの
のまちがいです...すみません。
No.1
- 回答日時:
G(R,t)=δ(r-ct)/(4πcr) …(3)
は
G(R,0)=0
を満たしていないと思いますが、どうでしょう?
#ちなみに(3)のrはR?
この回答への補足
ご回答ありがとうございます。『(3)は方程式に代入してみると(4)ではなく、(2)を満たしている」は「(4)ではなく、(1)を満たしている」の誤りです。申し訳ございませんでした。また、Rは3次元べクトル、rはその大きさのつもりです。方向には依存しないので、
∇^2 (δ(r-ct)/(4πcr))
= (1/r^2)(∂/∂r)(r^2(∂/∂r)(δ(r-ct)/(4πcr))
= δ''(r-ct)/(4πcr)
(∂^2/∂t^2) (δ(r-ct)/(4πcr))
= c^2δ''(r-ct)/(4πcr)
なので(4)の解を求めたはずなのに(1)の解になってしまいます。
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