複素関数論、留数定理の証明

留数定理（画像）の証明で、①「｛a❘Ind(a,γ）＝０｝は開集合で、ある大きな円の外部の点をすべて含む」とあるのですが、なぜでしょうか？
②（Ｂ＝）γ∨｛a❘Ind(a,γ）≠０｝はコンパクトで、γ～０よりＵに含まれるからこの集合（Ｂ）が孤立特異点ajを無数に含みことはないとあるのですが、なぜでしょうか？（コンパクト性で有限開被服で覆えてもそれぞれの開被服に無数の孤立特異点が含まれたら成り立たないと思います）
どなたか教えていただけないでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 証明部分です。よろしくお願いいたします。

  
    補足日時：2020/09/09 10:47

No.1 ベストアンサー 回答者： xixixi 回答日時： 2020/09/10 09:57

ヒント：

①：Ind(a, γ) = 1/(2πi) ∫_γ dz /(z-a)・・・(1)
は整数値をとり， a ∈ C ∖ γ に関して連続（C は複素平面）。
0 を中心として半径 R の円盤 D_R で R を十分大きくとると γ ⊂ D_R。 a がそのような D_R の外部にあるとき，(1) の被積分関数は D_R で解析的（正則）。＋ コーシーの積分定理。

②：B がコンパクトなのは B は閉かつ B ⊂ D_R からでます。
もし，Bが無数の aj を含むと，Bはコンパクトだから，それらの aj はB で集積点 bをもつ。b ∈ B ⊂ U 。b は f(z) 孤立特異点ではない。仮定より f(z) は z = b で解析的のはずだが，b の任意の近傍は無限個の aj を含む。

この回答へのお礼

ありがとうございます。解決しました。

お礼日時：2020/09/11 09:06