行列の証明問題です。

C,Dを正則なm次元正方行列、Ｉをm次元単位行列とする。また、(Ｉ+CD)と(Ｉ+DC)
は正則行列であるとする。
(I+CD)^-1・C=C(I+ DC)^-1が成り立つことを確かめよ。

この証明は
(I+CD)^-1と(I+ DC)^-1がＥだから
ＥＣ＝ＣＥ＝Ｃ
で良いんですかね？

質問者からの補足コメント

• 

  回答ありがとうございます。
  まず、何故
  (I+CD)^(-1)=(I+DC)^(-1)=E=Iと仮定すると
  I+CD=I+DC=Iとなるのでしょうか？
  
  
  C,Dが正則である事に矛盾するから
  (I+CD)^(-1)=(I+DC)^(-1)=E=Iではありません
  これも何故なのかわかりません。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/10/07 22:58

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/10/07 13:50

(I+CD)^(-1)=(I+DC)^(-1)=E=Iと仮定すると

I+CD=I+DC=I
CD=DC=0
|C||D|=0となってC,Dが正則である事に矛盾するから
(I+CD)^(-1)=(I+DC)^(-1)=E=Iではありません

C(I+DC)=C+CDC=(I+CD)C
だから
C(I+DC)=(I+CD)C

↓両辺に左から(I+CD)^(-1)をかけて、右から(I+DC)^(-1)をかけると

(I+CD)^(-1)・C=C(I+DC)^(-1)

No.2 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/10/08 03:50

(I+CD)^(-1)=(I+DC)^(-1)=E=Iと仮定すると

(I+CD)^(-1)=I
↓両辺にI+CDをかけると
I=(I+CD)(I+CD)^(-1)=(I+CD)I=I+CD
I=I+CD
↓両辺に-Iを加えると
0=I-I=I-I+CD=CD
0=CD
0=|C||D|
|C|=0または|D|=0となってC,Dが正則である事に矛盾するから
(I+CD)^(-1)=(I+DC)^(-1)=E=Iではありません

C(I+DC)=C+CDC=(I+CD)C
だから
C(I+DC)=(I+CD)C

↓両辺に左から(I+CD)^(-1)をかけて、右から(I+DC)^(-1)をかけると

(I+CD)^(-1)・C=C(I+DC)^(-1)