微分方程式の問題です。 y"+4y=1 一般解の求め方が分かりません。 よろしくお願いいたします。

微分方程式の問題です。
y"+4y=1
一般解の求め方が分かりません。
よろしくお願いいたします。

No.3 ベストアンサー 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/11/19 23:09

まず、関数yの変数が分からないので、とりあえずxとする。

ay''+by'+cy=0(aは0以外の実数、b,cは実数）の形の微分方程式は2次方程式のように解くことができる。
その2次方程式のことを特性方程式という。

ただ、今回の問題は右辺が1なので、そのままでは適用できない。
なので、y"+4y=1を満たす解を一つ求めないといけない。
これを特殊解という。

特殊解は、ある程度パターン化されているが、トライ＆エラーで解くことになる。
例えば、y=px+qとすると、
y'=p
y''=0
これを与式に代入すると、
4px+4q=1
係数比較により、p=0, q=1/4となり、特殊解（の一つ）はy=1/4となる。

次に、y''+4y=0の特性方程式をr^2 + 4=0とすると、
r=±2i （i：虚数単位）

よって、y''+4y=0の一般解は、

y=C1'e^(2i)x + C2'e^(-2i)x

オイラーの公式より、

=C1'cos2x+(C1'i)sin2x+C2'cos2x-(C2i)sin2x
=(C1'+C2')cos2x+((C1'-C2')i)sin2x

C1'+C2', (C1'-C2')iは（虚数であっても）積分定数なので、
y=C1cos2x+C2sin2x

とおくことができる。

2階非斉次常微分方程式は解の重ね合わせができる。
よってy"+4y=1の特殊解と、y''+4y=0の一般解を足したものが与式の一般解となる。

ゆえに、y=C1cos2x+C2sin2x+1/4
（C1,C2：積分定数）

検算して確認してみて。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/11/19 22:59

自由変数を決めないと式で書けないから、

’ は d/dx のこととする。

とりあえず、特殊解 y = 1/4 (定数関数) は
見りゃすぐに思いつくでしょ？
すると、y = 1/4 + z で置換して
z’’ + 4z = 0 を解くことになる。

定形数斉次線型微分方程式の解法は決まってるから、
特性方程式 λ^2 + 4 = 0 を解いた
λ = ±2i を使って、
z = A e^(2ix) + B e^(-2ix) (A,Bは定数).

式を整理すると
y = 1/4 + (C1)cos(2x) + (C2)sin(2x) (C1,C2は定数).

型通りだよ。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2020/11/19 22:32

二階非斉次常微分方程式 的なサイトを参照なされよ。