参考書に間違い（多分・・・）

Question

ある有名参考書に次のような（関数はもうすこしややこしいのですがそこは今はどうでもよいのでここでは単純化しています）問題がありました。
「２次関数 ｆ(x)=x^2+ax+a のグラフとｘ軸の共有点のｘ座標をα、βとするとき１≦α＜２≦βを満たすように、定数aの値の範囲を求めよ。」
この問題に対する解答として
「題意を満たすにはf(1)≧0かつf(2)≦0であればよい」
というようなことが書いてあったんですがこれは間違いではないでしょうか。このやり方だとα＝２で２≦βの場合が題意を満たすということになってしまいますが、それは１≦α＜２≦βのα＜２の部分に合致していないと思います。正しくは次のようにするのではないでしょうか。
「題意を満たすにはf(1)≧0かつ(f(2)＜0または(f(2)=0かつ軸がｘ＝２より左))」
注：上のカギカッコ内ではＡ∧(B∨(C∧D))という構造を示すために(）を使っています。

kater_kurz · Accepted Answer

#3です。
#3の補足を踏まえて再回答。

質問者さんのお考えが全面的に正しいです。
解説文の記述がどうこういう以前に、答えが違うわけですから^^;;

a=-3のとき、α=2，β=7　であって、１≦α＜２≦βという条件を満たしません。
よって、-2-√7≦a≦-3という解説の答えはマチガイです。

また、間違った結論を導く
「題意を満たすにはf(1)≦0かつf(2)≧0であればよい」
という記述も完全にマチガイ。

質問者さんはこのタイプの問題について十二分に理解されていると思います。
参考書の誤記述もよくあることですから、こういうときは自信をもって舌打ちしてやりましょう。

では。

timid_person · Answer

あなたが記載された問題および解答の内容を見ると、
「１≦α＜２≦βを満たす」ならば「f(1)≧0かつf(2)≦0であればよい」と受け取ることができます。

問題でαおよびβは「１≦α＜２≦β」を必ず満たしているわけですから、α＝２となることは有り得ません。
逆が真であるかどうかは考える必要はありません。

参考書の解説の通りで間違いないのではないでしょうか。

nmg · Answer

この問題の解き方は、αとβがX軸と交わる条件を別々に考えて、最後に条件を組み合わせたらいいと思います。

あと、X軸にはα(1≦X＜2)とβ(X≧2)の2点で交わるといっているので、α=2の場合を考える必要はないと思います。

αはX≦1でX軸と交わるのだから、f(1)≧0になります。
(α＜2の条件もこの式にはあてはまります)
βはX≧2でX軸と交わるのだから、f(2)≦0になります。

aの値をだそうとすると、問題が難しくなってくると思います。

最後に、参考書の答えから判断してしまったので、これであっているかはわかりませんが、考え方の参考にしてもらえるといいです。

kater_kurz · Answer

一般論としては、私は質問者さんの考え方が正しいと思います。

質問文を読んだ限りでは、解説文の書き方は不適切です。
質問者さんの書かれているように、
「題意を満たすにはf(1)≧0かつ(f(2)＜0または(f(2)=0かつ軸がｘ＝２より左))」
とするか、或いは
「題意を満たすにはf(1)≧0かつf(2)≦0であることが必要」
とすべきでしょう。

ただ、「関数はもうすこしややこしいのですが…」という部分がちょっと気になります。

例えば、
ｆ(x)=x^2+ax+a
であれば、f(2)=0　は明らかに不適です。
f(2)=0　⇒　a=αβ<0 ⇒　α，βは異符号

このように、係数の表現によっては取りうる係数が予め限られてきますから、それを踏まえた上で、
「題意を満たすにはf(1)≧0かつf(2)≦0であればよい」
と書かれている可能性はあると思います。

以上、ご参考までに。

mirage70 · Answer

２次関数ですから、判別式D=0を求められるときには、求めてみて、xの値が２以上であるなら、出題者のとおりのことがあります。
単純化した問題は誤っています。共通範囲が出てこないのではないですか?これでは、答えを出しにくいと思います。
単純化した問題で、考えるなら、
y1=-x^2のグラフと、y2=ax+aのグラフの交点を考えてみて下さい。

Quattro99 · Answer

問題文の方が間違っているということもあるのでは？

×１≦α＜２≦βを満たすように
○１≦α≦２≦βを満たすように

参考書に間違い（多分・・・）

あなたが記載された問題および解答の内容を見ると、

この問題の解き方は、αとβがX軸と交わる条件を別々に考えて、最後に条件を組み合わせたらいいと思います。

一般論としては、私は質問者さんの考え方が正しいと思います。

この回答への補足

２次関数ですから、判別式D=0を求められるときには、求めてみて、xの値が２以上であるなら、出題者のとおりのことがあります。

#3です。

問題文の方が間違っているということもあるのでは？

この回答への補足

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