約数を全て足すと60となり、約数の逆数を全て足すと5/2となる整数はいくつですか？

約数を全て足すと60となり、約数の逆数を全て足すと5/2となる整数はいくつですか？

No.2 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/12/01 22:31

求める整数をN、Nの約数を小さい方から順にｘ₁、ｘ₂、……、ｘｎとします。

このとき、N＝ｘ₁ｙ₁、N＝ｘ₂ｙ₂、……、N＝ｘｎｙｎ となる ｙ₁、ｙ₂、……、ｙｎ が存在します。ｙ₁、ｙ₂、……、ｙｎ もNの約数で、Nの約数を大きい方から順に並べたものになります。[N>0 , xk>0 ,yk>0 (k=1,2,……、ｎ)]

これより、
ｘ₁+ｘ₂+……+ｘｎ=60
ｙ₁+ｙ₂+……+ｙｎ=60

また、
N=x₁y₁より、1/N=1/(x₁y₁) なので、1/x₁=y₁/N
同様に、
1/x₂=y₂/N、……、1/xn=yn/N

これより、
1/x₁ + 1/x₂+……+1/xn
=y₁/N + y₂/N +……+yn/N
=(y₁+y₂+……+yn)/N
=60/N

したがって、
60/N=5/2
120=5N
N=24
求める整数は24です。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/12/01 02:09

cf.

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/12035970.html