点から平面に下ろした垂線の足のベクトルを求める問題（パラメータと垂直条件で解くやつ）がよくありますが

点から平面に下ろした垂線の足のベクトルを求める問題（パラメータと垂直条件で解くやつ）がよくありますが、あれを楽に解く方法はありますか？

成分表示なら外積で楽に解けますが、されてない場合です。
計算がキツすぎて...

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/02/08 12:30

与えられた条件を成分になおせば

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/02/08 18:42

成分計算でやると、計算がキツくなります。

図に登場する各点の位置ベクトルに名前をつけて
直線上の点を内分公式を使ってパラメータ表示し
垂直条件を内積計算で処理するようにすると、　←ココ重要
式は連立一次方程式になって、
解けば上記のパラメータが求まります。

抽象的な話になりましたが、
例題を具体的に挙げてくれれば
問題に沿って実際の解き方を説明しますよ。

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2021/02/09 12:42

平面Pをどう与えるかは色々あるでしょうけど、このサイトの質問でよく見かけるのは

　　P = { x | a’x = m}　（ただし a' はベクトルaの転置のことだとします。）
という形、つまり一次方程式 a[1]x[1] + a[2]x[2] + a[3]x[3] = m の係数ベクトルaと定数mが与えられている場合。あるいは
　　P = { x | a’(x - b) = 0}
つまり、「Pは点bを通りベクトルaに垂直な平面だ」という形でしょうかね。

　さて、平面Pの表現がどうなってるにせよ、「点cから平面Pに下ろした垂線の足xを求む」という問題を「xはP上の点だ、という制約条件のもとで、xとcの距離の2乗が極値(極小)になるxを求む」と読み替えれば、未定乗数法が使えます。（問題をこう言い直せば、もはやxは3次元だと限ることはないしPも平面でなくたって良い。それはさておき。）

　具体的に「xはP上の点だ」が（上記の2通りの例をまとめて）方程式
　　a'(x - b) - m = 0
で表される場合をやってみると、
　　L = |x - c|^2 + λ(a’(x - b) - m)　　（λはスカラー）
について ∂L/∂x = 0, ∂L/∂λ = 0 という連立方程式を解けば良いわけで。
　　L = (x - c)’(x - c) + λ(a’(x - b) - m)
　　　= x’x - 2c'x + c'c + λ(a'x - a'b - m)
なので、∂L/∂x = 0, ∂L/∂λ = 0 はそれぞれ
　　2x - 2c + λa = 0 …(1)
　　a'x - a'b - m = 0 …(2)
となる。(1)に左からa'を掛けて
　　2a’x - 2a'c + λa'a = 0
とすれば、(2)を使ってa'xが消去できてλが決まるから、(1)にλを代入して完了。

…ってわけで、「憶えるところ」が僅かで済むんじゃないでしょうか。（3次元に限定の）外積を使うより応用が広いですし。